[시계열분석] 추세모형에 의한 분해법

안녕하십니까, 간토끼입니다.

 

이번 포스팅은 시계열을 분석하는 전통적인 방법인 분해법의 소개와 더불어 추세모형에 의한 분해법에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

 

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1. 분해법

분해법은 시계열을 분석하는 전통적인 방법 중 하나입니다.

20세기 초에 경제학자들이 경기변동(Business Cycle)을 예측하려고 시도한 데서 비롯된 방법이라고 합니다.

분해법은 시계열이 체계적 성분과 불규칙적인 성분으로 구성되어 있으며, 체계적 성분은 특히 추세성분, 계절성분, 순환성분 등으로 분해할 수 있다고 보고 있습니다.

그렇기에 각 성분을 분해하여 각각의 성분을 예측함으로써 시계열자료를 예측하고자 하는 것이죠.

이는 시계열자료의 패턴이 미래에도 지속될 것이라는 가정에서 출발합니다.

예를 들어 추세성분은 "지금까지 A만큼의 비율로 꾸준히 증가(감소)했으니, 앞으로도 A만큼 증가(감소)할거야~"

계절성분은 "B의 주기만큼 증감이 반복되었으니, 앞으로도 B' 크기 정도는 움직임이 비슷하지 않을까?"

등의 예상을 통해 이러한 성분들을 따로 분해해서 생각한다면 좀 더 예측이 정확하지 않을까란 것이죠.

 

추세성분과 계절성분, 순환성분 등의 개념은 다음 포스팅에서 설명해놨으니 참고하시기 바랍니다.

2020/11/03 - [Statistics/Time Series Analysis] - [시계열분석] 시계열모형의 개념

[시계열분석] 시계열모형의 개념

 

또한 분해법의 목적 중 하나는 계절조정(Seasonal Adjustment)입니다.

계절조정이란, 시계열자료에서 나타나는 계절에 따른 패턴을 제거하는 것을 말합니다.

예를 들어 매년 추석, 연말에는 백화점 매출이 증가하는 계절적인 패턴이 항상 나타나는데, 백화점의 데이터 분석가가 추후 백화점 매출이 어떻게 될지 예측한다고 가정해봅시다.

만약 계절조정을 하지 않았는데 마침 추석 시기의 매출을 예측한다고 하면,

매출이 순수하게 상승하는 것인지, 아니면 계절의 순환으로 인해 상승하는 것인지 등 다른 요인의 영향을 받기 때문에 순수한 상승의 크기를 예측하기 어렵게 됩니다.

그러한 의미에서 계절조정을 한다고 이해하시면 됩니다.

계절조정은 추후 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.

 

 

분해법은 기본적으로 시계열이 위에서 설명한 여러 성분들로 구성되어 있다고 가정합니다.

이때 이 성분들의 결합 방식에 따라 다음과 같은 두 가지 형태의 모형을 가정하고 있습니다.

가법모형은 계절성분의 진폭이 시계열의 수준에 관계없이 일정한 수준일 때 주로 사용되며,

승법모형은 시계열의 수준에 따라 진폭이 달라질 때 사용됩니다.

 

이때 승법모형에서 각 성분들이 "곱"으로 연결되어있다는 것에 주목하면 다음과 같은 변환을 떠올릴 수 있습니다.

바로 승법모형에 Log-transfrom을 취해주면 각 성분들은 log의 성질에 따라 덧셈으로 연결됩니다.

이를 로그가법모형이라고 합니다.

 

실제로 경제 관련 자료들의 경우, 시간의 흐름에 따라 점차로 증가하기 때문에 로그변환 후 가법모형을 많이 사용한다고 합니다.

앞서 다뤘듯이 로그 변환을 하면 이분산의 크기를 줄여줄 수도 있고, 경제 관련 자료들은 대체로 단위가 매우 크기 때문에 scailing의 효과도 달성할 수 있습니다.

 

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2. 추세모형에 의한 분해

2020/11/04 - [Statistics/Time Series Analysis] - [시계열분석] 다항추세모형(1) - 상수평균모형

[시계열분석] 다항추세모형(1) - 상수평균모형

2020/11/06 - [Statistics/Time Series Analysis] - [시계열분석] 다항추세모형(2) - 선형추세모형(Linear Trend Model)

[시계열분석] 다항추세모형(2) - 선형추세모형(Linear Trend Model)

에서 설명한 것처럼 시계열을 구성하고 있는 추세성분은 다음과 같이 시간의 함수 형태로 표현할 수 있다고 가정합시다.

이때 S_(t)는 계절성분을 의미하며, 원하는 형태에 따라 지시함수(Indicator Function)를 이용하거나, 혹은 삼각함수를 이용할 수도 있습니다.

위 계절성분 식에서 IND는 쉽게 말하면 해당 Season일 때 1, 그렇지 않으면 0인 Dummy Variable이라고 이해하시면 됩니다.

저는 지시함수를 이용해 계절성분을 표현해보도록 하겠습니다.

 

그리고 순환성분은 계절성분보다 더 긴 주기를 갖는 경기순환 등의 성분이나, 일반적으로는 그 주기를 알지 못하죠.

그래서 일반적으로 분해법에서 순환성분은 크게 고려하지 않는다고 합니다. (저도 그럼 고려하지 않겠습니다)

 

분해법의 기본 가정은 추세성분과 계절성분이 서로 독립이라는 것입니다.

앞서도 분해법에서의 각 성분은 서로 독립이라고 언급했었죠.

승법모형 또한 로그가법모형을 사용하는 등 가법모형을 이용한 분해법에 대해서 알아보는 게 중요할 것 같습니다.

그럼 가법모형을 이용한 분해법의 절차에 대해서 알아보시죠.

 

(1) 원시계열 {Z_t}에 추세모형을 적합시켜 얻은 추정식으로부터 추세성분의 추정계열을 얻는다.

 

(2) 원시계열 {Z_t}에 추세성분의 추정계열을 뺀 잔차계열에 계절모형을 적합시켜 얻은 추정식으로부터 계절성분의 추정계열을 얻는다.

 

(3) 원시계열에 추세성분, 계절성분의 추정계열을 빼줌으로써 얻은 불규칙성분의 추정계열에 대한 분석을 통해 불규칙성분에 아직도 각 성분에 관한 체계적인 정보가 남아있는지 검토한다.

 

 

그러나 재밌는 건 추세성분과 계절성분이 사실 독립이라고 보기엔 조금 무리가 있겠다는 것이겠죠.

왜냐하면 Trend에 따른 움직임과 계절의 따른 움직임으로부터 발생하는 시계열의 증감이 같이 움직여 더 큰 증가를 일으킬 수도 있고, 감소를 일으킬 수도 있고 상쇄될 수도 있기 때문이죠.

대충 어떤 소리를 하고 싶은지 감이 오실 겁니다.

 

따라서 위 절차처럼 3단계에 걸쳐 추정하는 것보단, 추세성분과 계절성분을 포함하는 다음과 같은 모형을 이용해 각 성분을 동시에 추정하는 것이 바람직하다고 합니다.

특히 예측이 목적이라면 위 모형을 적합시킨 후 이들을 이용해 예측값을 구하면 됩니다.

 

 

추세모형을 이용한 분해법에서 중요한 가정은 모수(Parameter)가 시간에 따라 변하지 않는다는 것입니다.

만약 parameter가 시간에 따라 변한다면 앞서 설명했던 평활법을 사용하여 추정하는 것이 바람직하겠죠.

 

다음 포스팅에서는 분해법 중 하나인 이동평균법에 의한 분해법을 다뤄보도록 하겠습니다.

 

 

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- 간토끼(DataLabbit)

- 학부 4학년(a fourth-grade undergraduate)

- University of Seoul

- Economics, Data Science