안녕하십니까, 간토끼입니다.
이번 포스팅은 최근 M개의 관측치들만을 이용하여 평균을 구하는 방법인 이동평균법에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.
이동평균(Moving Average)이란 평활법의 한 종류로, 표본평균처럼 관측값 전부에 동일한 가중값을 주는 대신에 최근 m개의 관측치를 이용하여 평균을 구하고 이를 이용해 예측을 하는 기법입니다.
여러 관측치의 평균을 이용하기에 지엽적인 변동을 제거하여 장기적인 추세를 쉽게 파악할 수 있도록 해주는 장점이 있으며,
시계열이 생성되는 시스템에 변화가 있을 경우 이 변화에 쉽게 대처할 수 있습니다.
그럼 간단한 형태인 단순이동평균법(Simple Moving Average Method)에 대해 다뤄보도록 하죠.
만약 시계열자료가 parameter β와 i.i.d를 따르는 오차항으로 이루어진 아주 단순한 모형을 따른다고 합시다.
이때 β의 추정량을 최소제곱법에 의해 구한다면, 단순히 시계열자료의 모든 관측치를 이용한 단순 평균꼴이 되겠죠.
평활법에서도 다루었지만, 이렇게 구할 경우 β가 시간에 따라 변하는 Parameter의 특성을 반영하기 어렵습니다.
[시계열분석] 단순지수평활법(Simple Exponential Smoothing Method)
안녕하십니까, 간토끼입니다. 지난 포스팅까지는 시계열자료의 추세(Trend)를 이용하여 미래의 시계열을 예측하는 추세분석에 대해서 다뤄봤습니다. 추세를 나타내는 변수 t, 혹은 t의 Polynomial Ter
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이 평활법의 원리에 따라서 전체를 모두 반영하는 것보다 최근 관측치에 가중치를 좀 더 두자는 거죠.
즉 최근 m개의 관측치만을 이용해 평균수준을 측정하면 변화를 보다 빨리 반영할 수 있습니다.
그럼 이때 m개의 관측값을 이용한 추정량을 M_(n)이라고 하면,
보시다시피 최근 m개의 관측치만을 이용한 평균의 꼴로 구해짐을 알 수 있습니다.
이때 M_(n)을 단순이동평균추정량이라고 하며, 우리는 이러한 추정량을 β의 추정량으로 쓸 수 있습니다.
그리고 위에서 보는 것처럼 이러한 추정량은 β의 불편추정량임을 알 수 있습니다.
평활법의 포스팅을 보고 오신 분들이라면 어느정도 감이 오셨을 겁니다.
바로 이동평균법에서의 m의 값은 지수평활법에서의 평활상수 w와 같은 역할을 한다는 것이죠.
즉 m의 값이 클수록 관측치를 많이 사용하니까 평활의 효과가 크죠.
그러므로 지엽적인 변화에 둔감하게 반응합니다.
그러나 m의 값이 작을수록 최근의 관측치만을 사용하니까 평활의 효과가 작으며 지엽적인 변화에 빠르게 반응합니다.
하지만 처음 m개를 이용하여 m+1번째의 값을 예측하기 때문에 시계열의 첫 시작(t=1)부터 m개의 예측값은 구할 수 없다는 단점,
그리고 지수평활법과 다르게 관측된 시점에 관계없이 모든 관측값에 동일한 가중값인 1/m을 준다는 단점이 있습니다.
만약 새로운 관측값인 n+1 시점의 관측값이 추가될 경우 갱신은 어떻게 될까요?
단순이동평균의 장점은 새로운 관측값이 추가될 때마다
- 바로 직전에 구한 예측값
- 가장 최근 관측값
- m-시차 전 관측값
이렇게만 있으면 쉽게 갱신할 수 있다는 것입니다.
위에서 m의 크기에 따라 평활의 정도가 달라진다고 언급했는데요.
대충 보시면 m=7일 때보다 m=3일 때 원시계열의 지엽적인 움직임을 더 잘 잡아내는 것을 알 수 있습니다.
그렇기에 m이 커질수록 전역적인 트렌드를 잡아내어 좀 더 smooth한 형태를 가짐을 알 수 있죠.
만약 시계열자료가 parameter를 β 하나만 갖고 있는 꼴이 아닌, 추세를 갖는 선형추세모형의 꼴이라면
원래 하던대로 단순이동평균을 적용해도 괜찮을까요?
다음 포스팅에서는 시계열이 선형추세에 따라 증가하는 경우에 이동평균을 적용하는 방법에 대해 다뤄보겠습니다.
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