간토끼 DataMining Lab

[서평] A2A × MCP 멀티에이전트 오케스트레이션 실전 (서지영 저 / 길벗 출판사)

간토끼 — Mon, 20 Apr 2026 00:14:54 +0900

안녕하십니까, 간토끼입니다.

오늘은 길벗 출판사에서 제공 받은 A2A × MCP 멀티에이전트 오케스트레이션 실전에 대한 서평을 작성해보도록 하겠습니다.

Q. 이 책은 어떤 책인가요?

이 책은 싱글 에이전트 시스템을 넘어 멀티 에이전트 시스템을 구축하고 싶은 독자를 위해, 실습을 통해 A2A의 동작 원리를 체감하고 그 과정에서 개념이 자연스럽게 독자로 하여금 정리되도록 유도하는 책입니다.

참고로 이 책은 지난번에도 리뷰한 나만의 MCP 서버 만들기 책을 집필하신 서지영 작가님이 쓰신 책인데요.

2025.09.16 - [Records/Book] - [서평] 나만의 MCP 서버 만들기 with 커서 AI (서지영 저/길벗 출판사)

[서평] 나만의 MCP 서버 만들기 with 커서 AI (서지영 저/길벗 출판사)

안녕하십니까, 간토끼입니다. 오늘은 길벗 출판사에서 제공 받은 나만의 MCP 서버 만들기 with 커서 AI에 대한 서평을 작성해보도록 하겠습니다. 저는 현재 카이스트에서 데이터 사이언스를 전공

datalabbit.tistory.com

위 서평에서도 언급한 것처럼 MCP라는 생소한 개념을 알기 쉽게 소개해주셨다는 평을 제가 남기기도 했었죠.

이 책도 마찬가지로, 복잡하게만 느껴지는 멀티 에이전트 시스템의 진입 장벽을 낮춰줄 수 있는 책입니다.

좀 더 구체적으로 생각해보면, 요즘 멀티 에이전트의 도입은 더이상 낯선 환경이 아닙니다.

실제로 저도 대학원에서 싱글 에이전트를 넘어 도시 시스템을 위한 에이전트 시스템 연구를 계속 하고 있는데요.

물론 불필요하게 에이전트의 수를 늘리는 것은 컴퓨팅 비용의 관점에서도 마냥 좋은 것은 아닙니다만, 관리하는 기능이 많아질수록 적절히 에이전트의 수를 분산시키는 것은 필연적으로 요구됩니다.

그러기 위해서는 각 에이전트 간의 협업은 어떻게 구조화를 할 것인지, 오케스트레이션이 어떻게 이루어지는지 등을 '구현'의 관점에서 반드시 고민을 해야 합니다. 누구나 '멀티 에이전트가 좋지 않을까?'라고 얘기할 수는 있겠지만, '그걸 어떻게 구현할 건데?'라고 물으면 답하긴 어렵죠.

MCP가 랭체인 등 기존 라이브러리의 한계를 극복했던 걸 생각해보면, 기존 랭체인은 tool이 에이전트 코드 베이스와 결합되기 때문에 다른 시스템으로의 이식이 어렵다는 한계가 있었죠.

그래서 MCP는 이 문제를 프로토콜 레이어에서 해결할 수 있도록, 도구를 에이전트에서 떼어내 서버로 분리함으로서 한계를 극복했었습니다.

마찬가지로 A2A 또한 MCP와 유사한 철학을 공유하고 있습니다. 가령 CrewAI 에이전트와 LangGraph 에이전트를 통합된 시스템 하에서 연동하고 싶어도, 소위 서로 말을 걸 방법이 없습니다. Framework lock-in 문제가 존재하죠.

이를 극복하기 위해 A2A는 에이전트도 결국 네트워크 상의 서비스로 취급해야 한다는 관점을 표준화한 프로토콜입니다.

그래서 정리하면 MCP는 에이전트 <-> 도구/데이터의 축이고, A2A는 에이전트<->에이전트 축이라고 할 수 있죠. 둘은 상호보완적 관계입니다.

이를 기반으로 이 책은 MCP와 A2A를 통해 기초부터 멀티 에이전트 구축 실전까지의 흐름을 자연스럽게 서술하고 있는 멀티 에이전트 입문용 책이라고 할 수 있습니다.

Q. 그럼 누구에게 추천하는 책인가요?

출판사에서는 다음과 같은 독자를 위해 만들었다고 합니다.

▪ A2A, 멀티 에이전트 구조를 처음 접하는 입문자
▪ ‘멀티 에이전트’가 무엇인지 이해하고 싶은 기획자 · 개발자
▪ LLM을 사용해봤고 이제 더 복잡한 시스템을 만들어 보고 싶은 실무자
▪ 프로젝트나 PoC에서 에이전트 기반 구조를 도입해야 하는 엔지니어 · 아키텍트

저도 이 설명에 공감합니다.

이미 AI 에이전트를 커스텀 레벨에서 잘 구축하여 활용하고 있는 분들에게는 필요성이 높아보이진 않습니다.

다만 싱글 에이전트는 성공적으로 구축했으나, 멀티 에이전트로 확장하고 싶은 분들은 이 책을 읽고 실전 프로젝트를 따라해보면 많은 도움이 될 것으로 보이고요.

입문자 분들은 에이전트 등의 개념이 다소 생소할 수는 있겠으나,

생소한 에이전트의 개념부터 싱글 에이전트, 멀티 에이전트, 그리고 MCP까지 필요한 기초 개념들을 책의 초반부에서 리뷰해주기 때문에 필요한 개념을 빠르게 습득 후 A2A로 넘어갈 수 있다는 점에서 추천하고 싶습니다.

Q. 이 책의 장점은 무엇인가요?

A2A를 집중적으로 다루고 있는 것이라고 생각합니다. 그리고 이를 활용할 수 있는 프로젝트 기반의 실습 중심의 책이라는 점이 실용적이라고 생각해요.

참고로 A2A는 이제 나온지 겨우 1년이 된 기술입니다. 그렇기에 국내에 A2A를 다루고 있는 책이 거의 없다고 할 수 있어요.

이 책의 저자이신 서지영 작가님은 MCP 또한 빠르게 파악 후 활용하는 방법을 책으로 집필하신 노하우가 있으시기에,

A2A라는 아직 생소할 수 있는 개념을 파악하여 책으로 집필하셨기에 평소 이 개념이 궁금하셨던 분들에게는 큰 도움이 될 것으로 보입니다.

실제로 이 책의 상당 부분은 모두 실습 부분입니다.

물론 개념을 이해하는 것은 독자의 수준과 상관없이 가장 중요한 것이라고 생각하지만, 아직 잘 모르는 상황에서 개념만 상세히 파는 것은 흥미를 잃을 수도 있기에, 우선 먼저 구현해보면서 흥미를 느끼는 것이 중요하다고 생각합니다.

그런 관점에서 이 책은 실습의 비중을 높임으로써 독자들이 A2A 구현에 흥미를 느낄 수 있도록 가이드를 하고 있다고 생각해요.

저도 아직 A2A를 제대로 써본 적은 없지만, 많은 도움이 될 것으로 보입니다.

매번 유용한 책을 읽게 해주시는 길벗 출판사에 감사함을 전합니다.

감사합니다.

- 간토끼(DataLabbit)

- M.S. in Data Science, KAIST

- B.A. in Economics, Data Science, University of Seoul

[서평] 밑바닥부터 만들면서 배우는 LLM (세바스찬 라시카 저.박해선 역 / 길벗 출판사)

간토끼 — Mon, 24 Nov 2025 18:24:31 +0900

안녕하십니까, 간토끼입니다.

오늘은 길벗 출판사에서 제공 받은 밑바닥부터 만들면서 배우는 LLM에 대한 서평을 작성해보도록 하겠습니다.

지난 서평에도 언급한 것처럼, 저는 현재 LLM을 활용한 AI Agent 관련 연구를 진행하고 있는데요.

2025.09.16 - [Records/Book] - [서평] 나만의 MCP 서버 만들기 with 커서 AI (서지영 저/길벗 출판사)

[서평] 나만의 MCP 서버 만들기 with 커서 AI (서지영 저/길벗 출판사)

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지난 서평에도 언급한 것처럼, 저는 현재 LLM을 활용한 AI Agent 관련 연구를 진행하고 있는데요. 사실 AI Agent의 근본적인 연구라기보단, 이를 활용해서 현실 문제를 풀 수 있는 응용 연구에 가깝습니다.

그렇다보니 LLM을 활용하는 수준에만 그쳐서, 개인적으로 스스로에게 아쉬움을 갖고 있었습니다.

특히 요즘은 실무뿐만 아니라 연구를 하시는 분들도 LLM을 활용한 다양한 응용 연구를 활발히 하고 있는 시점에서, 저도 그 트렌드를 타고 LLM에 기반한 응용 연구를 하는 것에 관심을 두고 있는데요.

그래서 LLM을 밑바닥부터 만들면서 배운다는 컨셉인 이 책을 꼭 읽고 싶었습니다.

사실 우리가 일상 생활에서 챗GPT, 제미나이 등 LLM을 이미 활발히 활용하고 있지만, 이게 어떠한 원리로 작동하는지 관심을 가지는 경우는 드물 거라고 생각합니다. 특히 내가 요청한 것에 바보같은(?) 대답을 하는 상황을 보며 안타까워 하는 것 보다, 원리를 잘 이해하고 있음으로써 이 LLM의 역량을 더욱 잘 이끌어 낼 수 있다면, 보다 현명한 사용자가 될 수 있겠죠.

물론 그런 목적으로 이 책은 다소 어렵고 방대할 수는 있지만, LLM의 동작 방식을 자세하고 이해하고 싶고, LLM을 잘 활용하여 여러가지 응용 연구를 하고 싶은 분들에게는 매우 좋은 가이드가 될 수 있는 책이라고 생각했습니다.

좀 더 자세히 서평을 작성해보겠습니다.

Q. 이 책은 어떤 책인가요?

LLM의 작동 방식을 자세히 이해하고, 밑바닥에서부터 자신만의 언어 모델을 구축하는 방법을 배우고 싶은 개발자, 연구자, 학생 등을 위한 책입니다.

뭐랄까 핸즈온 머신러닝과 유사하게, 핸즈온으로 LLM을 밑바닥부터 배울 수 있는 매우 좋은 자료인데요.

LLM을 이해하기 위해서는 필연적으로 트랜스포머 구조와 어텐션 매커니즘을 이해해야 합니다. 이런 선수지식부터 LLM에 이르는 방대한 지식을 혼자서 찾아보는 건 매우 어려운 여정일 가능성이 높죠.

그렇기에 이 책은 LLM의 기본 개념부터 트랜스포머, 언어 모델을 위한 텍스트 전처리 과정, 어텐션 매커니즘, LLM의 사전 훈련 과정 및 파인 튜닝 등을 폭 넓게 다루고 있습니다.

덕분에 여러 자료를 찾아보지 않고도 LLM의 전반적인 내용을 효율적으로 학습할 수 있죠.

하지만 LLM은 매우 방대한 양의 컴퓨팅 자원을 필요로 합니다. 그렇기에 로컬에서 사전 학습을 한다는 것 자체가 말이 되긴 어려울 수 있어요. 그래서 이 책은 누구나 쉽게 예제를 따라할 수 있도록 일반적인 데스크톱(혹은 랩탑)에서 실행될 수 있도록 고려하였으나, 만약 컴퓨팅 자원이 비교적 괜찮아서 더 많은 양의 데이터를 이용해 훈련 성능을 높이고 싶다면, 이러한 부분도 고려하여 작성이 되어 있습니다.

특히 이 책의 저자는 세바스찬 라시카로, 이미 길벗의 유명한 책인 머신 러닝 교과서 with 파이썬, 사이킷런, 텐서플로 을 작성하기도 했죠. (물론 이 책도 박해선님이 번역하였습니다.)

워낙 유명한 책이다보니, 이 책의 퀄리티 또한 저자가 세바스찬 라시카라는 점에서 보증되어 있다고 보셔도 좋을 것 같습니다.

Q. 그럼 누구에게 추천하는 책인가요?

개인적으로는 연구자인 제 시점에서는, LLM을 활용한 다양한 연구를 해보고 싶은 분에게 추천하는 책입니다.

사실 LLM을 처음부터 끝까지 사전 훈련하는 것은 매우 어려운 태스크가 될 가능성이 높습니다. 왜냐하면 그만한 데이터셋을 구축하는 것은 물론이고, 학습을 위해서는 매우 큰 GPU 자원이 필요할텐데, 일반적인 사용자가 이러한 환경을 갖추기는 현실적으로 불가능하죠.

그렇기에, 우리가 해볼 수 있는 것은, 이미 잘 만들어진 모델을 가져와서 우리가 하려는 태스크에 맞게 파인튜닝하여 활용하는 것일텐데, 이러한 관점에서 보면 이 책은 여러 가지 파인 튜닝 기법들이 잘 소개가 되어있습니다.

바로 6장과 7장인데요. 6장에서는 사전 훈련된 LLM을 가져와서 우리가 하려는 다운스트림 태스크 (가령 스팸 메일 분류하기)를 위해 파인튜닝을 하는 예제가 소개되어 있습니다.

이 예제는 M3 맥북 에어 노트북에서도 약 6분 정도만 걸리는 예제로, 우리가 우려하는 것과 다르게 충분히 로컬 환경에서도 따라해볼 수 있는 예제겠죠. 예제에서는 이진 분류 문제만 다루었지만, 이걸 다중 분류로 확장하는 것도 충분히 가능합니다. 특히 머신러닝 / 딥러닝 모델링을 해본 분들이라면 전반적인 절차는 매우 유사하니, 따라하는 것도 어렵지 않을 것이라 생각합니다.

제가 관심있는 섹션은 7장인 지시 미세 튜닝, Instruction fine-tuning 인데요.

지시 미세 튜닝이란, LLM에게 내리는 지시 (가령 45km를 미터로 변환해) 에 맞는 답변 (45km는 45000 미터입니다) 이 나오도록 하는 튜닝을 의미합니다.

LLM을 지시 미세 튜닝하기 위해서는 데이터셋을 입력-출력 쌍으로 만들어줘야 합니다. 물론 이름에 맞게 지시(intruction)도 있어야죠.

Below is an instruction that describes a task. Write a response that appropriately completes the request.

## Instruction:

Identify the correct spelling of the following word.

## Input:

Occasion

## Response:

The correct spelling is 'Occasion'

이런 식으로 지시 미세 튜닝을 위해 잘 알려진 알파카 프롬프트 스타일을 구현하는 방법도 잘 작성돼있고, 이를 기반으로 훈련하는 방법까지 이어져 있습니다.

이러한 방법을 잘 활용하면 다음 문제를 푸는 것도 가능한데요.

가령, 사람들이 특정 시간 후에 어느 장소로 이동할까?의 궁금증을 해소하기 위한 Next Location Prediction (다음 위치 예측) 이라는 문제가 있습니다.

이를 전통적인 딥러닝 문제로 풀기 위해서는, 각 유저들의 이동 경로(trajectory)를 시퀀스 데이터로 가정하고 시퀀스에 최적화된 RNN 등의 모델을 이용해야 하는데요.대신, 다음과 같이 instruction-tuning을 이용해 LLM을 이용해서 특정 사람의 다음 위치를 예측하는 문제를 풀 수 있게끔 하는 논문의 사례도 있습니다.

개인적으로 저도 이러한 응용 연구에 관심이 있다 보니, 책을 재밌게 읽었습니다.

사실 개발자들이 관심있는 것도 유사할 것 같아요.

마찬가지로 사전 학습을 하는 건 어려울 가능성이 크기에, 특정 문제를 풀기 위해 파인튜닝을 하는 방법, 그리고 이를 활용해 해볼 수 있는 실무적 응용에 관심을 가지실 거라 생각합니다.

그러한 관점에서는 이 책이 매우 도움이 될 거라 자신합니다.

Q. 이 책의 장점은 무엇인가요?

이 책의 장점은 LLM의 구조, 그리고 LLM의 활용 방법까지 폭 넓게 한 책에서 다룬다는 점이라고 생각합니다.

LLM이 점점 뜨거워지는 요즘 트렌드와 달리, 대부분의 사람들은 서비스 차원에서만 LLM을 접할 뿐, LLM의 작동 원리까지 세심하게 들여다보기는 현실적으로 어렵죠.

특히 LLM 공부를 하고 싶어도, '챗GPT에게 잘 질문하는 방법' 등의 포스트만 주를 이루다 보니, 양질의 콘텐츠를 접하는 것은 더더욱 어렵습니다.

그렇기에 이 책은 복잡한 트랜스포머와 LLM의 원리, 파인 튜닝 방법 등을 직관적으로 다루면서도 개념의 깊이 또한 적절한 수준에서 챙기고 있기에, 개론보다도 더 양질의 콘텐츠를 포함하고 있습니다.

마냥 가볍게 볼 책은 아니기에, 들여다 보는 것에 시간을 많이 써야 하지만, 그 과정을 통해 얻어가는 것 또한 많을 것이라고 생각합니다.

저도 이 책의 내용을 소화하려면 좀 더 읽어봐야 할 것 같아요.

지금까지 읽은 시점에서 느끼는 건, 방대하게 느껴질 수 있는 목차이지만, 잘 따라가다보면 충분히 많은 걸 얻어갈 수 있을 거라 자신합니다.

개인적으로는 LLM의 원리를 이해하고, 오픈소스 모델 (가령 Llama 등)을 활용해 파인튜닝 함으로써 본인이 몸 담고 있는 도메인의 문제를 풀고 싶은 독자들에게 추천하는 책입니다.

이상으로 서평 마무리하겠습니다.

좋은 책을 읽게 새주신 길벗 출판사에 감사함을 전합니다.

감사합니다.

- 간토끼(DataLabbit)

- Master's student in Data Science, KAIST

- B.A. in Economics, Data Science, University of Seoul

[서평] 나만의 MCP 서버 만들기 with 커서 AI (서지영 저/길벗 출판사)

간토끼 — Tue, 16 Sep 2025 11:24:32 +0900

안녕하십니까, 간토끼입니다.

오늘은 길벗 출판사에서 제공 받은 나만의 MCP 서버 만들기 with 커서 AI에 대한 서평을 작성해보도록 하겠습니다.

저는 현재 카이스트에서 데이터 사이언스를 전공하고 있는 대학원생입니다.

대학원 입학 후 여러 연구를 하고 있는데, 현재 LLM을 활용한 AI Agent 관련 연구를 진행하고 있는데요.

좀 더 구체적으로 AI Agent를 도시 시스템에 접목하는 연구를 하고 있고, 연구가 어느정도 진행이 돼서 논문도 작성하고 있습니다.

특히 요즘 Agentic AI 라는 키워드가 핫해지면서 앤트로픽이 개발한 MCP(Model Context Protocol)가 AI 에이전트 기반 플랫폼에서 빠르게 채택되면서 핵심 기술로 주목받고 있습니다. 그렇다 보니 저도 관심을 가지지 않을 수 없는 키워드였고요.

그러한 이유로, 나름 전공자(?)의 관점에서 이 책을 정말 재미있게 읽었습니다.

전공 서적의 느낌보다는, 비전공자들이 쉽게 커서 AI 혹은 클로드 데스크톱에 MCP를 결합함으로써 본인의 업무에 생산성을 향상시키고자 하는 분들에게 최적화된 책이라고 생각했습니다.

좀 더 상세히 서평을 작성해보겠습니다.

Q. 이 책은 어떤 책인가요?

이 책은 AI 에이전트와 MCP를 이해하고 본인의 업무에 접목시키고자 하는 분들을 효과적으로 돕는 책입니다.

좀 더 구체적으로, LLM 기반의 AI 시스템을 직접 설계하고 싶은 개발자나 MCP를 이해하고 다양한 에이전트를 연결해보고 싶은 분들에게 좋은 출발점이 될 수 있는 책이라고 생각합니다.

사실 LLM 기반의 AI 에이전트를 좀 다뤄보신 분들은 공감하시겠지만, 기존의 Function calling 방식에서 어려움이나 한계를 느끼신 분들이 많을 거라 생각해요.

특히 랭체인(LangChain)으로 여러 개의 tool을 연결하고 순차적으로 실행하며 상호작용하는 구조를 설계하는 게 생각보다 어렵거든요.

각 tool의 입출력 명세를 설계하고 상태를 관리하는 복잡한 요소에 신경을 써야한다는 어려움이 있고, 이러한 어려움은 비전공자들에게 더욱 크게 다가올 거라 생각합니다. 저도 그런 부분에서 어려움을 느꼈고요.

그래서 이 책은 MCP 프로토콜을 커서(Cursor) AI와 클로드 데스크톱 등의 도구를 활용해 직접 구현하는 방법을 안내하는 입문서라고 할 수 있습니다.

책의 주요 내용은 다음과 같습니다.

1부. MCP 이해하기

- MCP 개념 이해하고 MCP 동작 방식 이해하기

2부. 실습 환경 준비하기

- API 키 획득 / 클로드 및 커서 준비하기

3부. MCP 실습하기

- 기존 Function Calling과 MCP 서버 비교하고 MCP 직접 사용해보기 (Cursor AI and Claude)

각 단계별로 차근차근 MCP의 개념을 알아보고, 환경을 구축하고, 직접 실습해보는 내용으로 구성돼있습니다.

Q. 그럼 누구에게 추천하는 책인가요?

이 책은 개인적으로 LLM 기반의 AI 에이전트가 도대체 무엇이고, 요즘 핫한 바이브 코딩 툴인 Cursor AI와 MCP를 어떻게 활용할 수 있는 건지 궁금해하는 분들에게 적합한 책이라고 생각합니다.

위에서도 언급했지만, 전공 서적의 느낌을 기대하면 생각한 부분과 많이 다를 수 있을 것 같지만,

그럼에도 비전공자들의 진입 장벽을 낮춰주는 데 의의가 있는 책이라고 생각해요.

사실 총 3부 중 2부의 내용이 실습 환경을 준비하는 것에 초점이 맞춰진 만큼, 정말 기초부터 알려주는 데 초점을 둔 책이라는 점에서, 어느 정도 개념을 이해하고 있는 분들 입장에서는 아쉬움이 조금 느껴질 수도 있습니다.

하지만 타겟 독자가 다른 거니깐요.

이미 AI 에이전트를 잘 활용할 수 있는 분이라면 이 책이 아니더라도 MCP의 개념을 금방 이해하고 잘 활용하실 수 있겠죠.

다만 우리 모두 뭐든 처음이 어려운 법이잖아요? 비전공자들은 챗GPT를 활용하는 것부터 어려움을 겪거나 겁을 먹으시는 분들도 있으시더라고요.

그러한 관점에서 이 책은 정말 막연하게 느껴지지만 주변에서 워낙 많이 들리는 AI 에이전트, MCP ... 이런 낯설게 느껴지는 키워드를 좀 더 친근하게 만들어주는 데 의의가 있을 것 같습니다.

Q. 이 책의 장점은 무엇인가요?

이 책의 장점은 비전공자를 위한 입문서라는 점에서 알기 쉬운 설명이 충실히 담겨있다는 거라고 생각해요.

저자인 서지영님은 마이크로소프트에서 Data & AI Specialist로 재직중이시고, 길벗 출판사에서 딥러닝 텐서플로 교과서 등 딥러닝 기술서적뿐만 아니라 최근 랭체인 & 랭그래프로 AI 에이전트 개발하기 등 좋은 책들을 많이 출판하신 경험이 있으시더라고요.

개인적으로는 책에 MCP에 대한 쉬운 부분과 어려운 부분을 같이 녹여냈으면 어땠을까하는 생각이 있지만, '누구나 커서와 클로드 데스크톱으로 MCP 서버를 쉽게 만들어볼 수 있다'에 초점을 둔 책이다보니 어쩔 수 없다고 생각합니다.

이러한 예시들을 통해 막연하게 느껴질 수 있는 부분을 알기 쉽게 이해할 수 있다는 점에서 좋은 책입니다.

그리고 실습 중심으로 이루어진 것도 장점이라고 생각해요.

비전공자들 입장에서는 복잡한 이론보다는 '그래서 어떻게 써먹어볼 수 있는 건데?' 라는 생각을 하기 마련이잖아요.

어떻게 보면 개발자들의 경우, '요즘 핫하다는 MCP 그거 그래서 어떻게 쓰는 건데?' 라는 생각으로 이 책을 읽게 될 수 있겠고요.

그러한 분들에게는 이 책은 즉시 전력감으로 활용하실 수 있을 거라 생각합니다.

적절한 깊이로 이론도 알기 쉬운 설명으로 녹아져있고요.

사실 AI 에이전트에 대한 내용도 앞에서 풍부하게 소개가 되고, 자연스럽게 기존 방식과 대비해서 MCP의 개념으로 이어지는 구성이었으면 배경지식을 채우는 데 도움이 되지 않았을까란 생각이 들긴 합니다.

개인적으로 AI 에이전트에 관심을 가진 분들이라면, 이 책과 더불어 '랭체인 & 랭그래프로 AI 에이전트 개발하기'와 같은 AI 에이전트 서적을 먼저 읽어보시고, 기존 방식의 장단점을 인지하신 후에 MCP에 대해 공부해보시면 더욱 업무에 적용하기 수월할 것 같다는 말씀을 드리면서 서평 마무리하겠습니다.

좋은 책을 읽게 해주신 길벗 출판사에 감사함을 전합니다.

감사합니다.

- 간토끼(DataLabbit)

- Master's student in Data Science, KAIST

- B.A. in Economics, Data Science, University of Seoul

[서평] 59가지 통계학 궁금증 완전 정복 (황성원 저/길벗 출판사)

간토끼 — Sat, 5 Jul 2025 15:46:20 +0900

안녕하십니까, 간토끼입니다.

오늘은 길벗 출판사에서 제공 받은 59가지 통계학 궁금증 완전 정복에 대한 서평을 작성해보도록 하겠습니다.

여러모로 정말 오랜만에 올리는 포스팅이네요.

한동안 책을 제공 받을 기회가 있어도 서평을 남기고 싶을 정도로 적극적인 상황이 아니어서 그러질 않았었는데요.

우연히 이 책을 보고 나서, 이 책은 정말 읽고 서평을 남기고 싶어서 길벗 출판사로부터 제공 받았습니다.

데이터 분석, 데이터 사이언스 등의 키워드에 관심을 갖는 분들이라면 통계학은 사실 멀리하고 싶어도 그럴 수가 없는 학문인데요. 데이터를 다루는 것 자체가 통계학의 범주 안에 있기 때문이죠.

요즘은 꼭 이공계열/자연계열이 아니더라도, 사회과학이나 인문학 공부를 하는 분들도 통계를 워낙 많이 사용하니, 가장 실용적이면서도 우리에게 친숙한 학문이 통계학이 아닐까 싶습니다.

하지만 전공자가 아니라면 비전공자 분들은 통계학의 딱딱한 키워드가 꽤나 어렵기도 하고, 직관적으로 이해하기 어려워서 그저 기계적으로 암기하거나 피상적으로만 이해하고 적용하는 분들이 많으실 거라 생각해요.

이 책은 그런 분들에게 큰 도움이 될 것이라 생각합니다.

Q. 이 책은 어떤 책인가요?

제목에서도 알 수 있듯이, 통계학의 복잡한 개념을 독자가 직관적으로 이해할 수 있게 돕는 책입니다.

통계학은 사실 깊이 파고 들면 들수록 굉장히 복잡하고 체계적인 학문입니다. 알아야 할 개념도 정말 많고요.

다만 응용 분야에서 통계학을 보조 도구 정도로 활용하시는 분들은 그렇게까지 깊게 아실 일이 많지도 않고, 가장 많이 활용되는 영역은 흔히 기초통계학, 통계학개론이라고 불리는 정도의 개념들 정도라 생각합니다.

이 책은 기초통계학(통계학개론) 정도의 개념, 혹은 회귀분석을 공부하면서 들 수 있는 59가지의 궁금증을 제시하고, 이를 직관적으로 해소하기 위해 다양한 그림과 직관적인 예시를 통해 설명하는 책입니다.

크게 4가지 챕터로 구분할 수 있는데요.

Chapter 1. 통계학을 배우면서 드는 기본적인 궁금증 (Q1. ~ Q22.)

Chapter 2. 추론 통계를 배우면서 드는 궁금증 (Q23. ~ Q35.)

Chapter 3. 가설 검정을 배우면서 드는 궁금증 (Q36. ~ Q42.)

Chapter 4. 회귀 분석을 배우면서 드는 궁금증 (Q43. ~ Q59.)

챕터만 보셔도 제가 위에서 언급한 기초통계학 내용에서 느낄 수 있는 궁금증을 다룬 것을 알 수 있습니다.

그렇다고 이런 내용이 가볍거나 쉽지 않다는 건 아닙니다. 가장 흔하게 쓰이면서도, 자칫 잘못하면 오해할 수도 있는 개념들이거든요.

가령 가설 검정을 통해 도출되는 p-value를 기계적으로 0.05보다 작으면 우리의 모델이 타당하다고 결론 짓는 경우, 회귀분석의 가정을 명확히 이해하지 못하고 무작정 모델링을 해서 잘못된 결론을 도출하는 경우 등 우리 주변에서는 이러한 내용들을 흔하게 오해하고 해석하는 경우가 많습니다.

저도 이 책을 읽으면서, 통계학의 다양한 개념들을 명확히 이해하지 못하고 사용하던 경우가 있던 걸 깨달았을 정도로, 이 책은 꽤나 유익하고 추천하고 싶은 책이라고 생각합니다.

Q. 그럼 누구에게 추천하는 책인가요?

개인적으로는 통계학보다는 응용 분야에서 통계학을 사용하는 분들에게 추천하고 싶은 책입니다.

가령 사회과학 연구를 하시면서 회귀분석이나 t-test 등의 모형을 자주 사용하시는 분들,

혹은 데이터 분석을 배워보기 위해 통계학 공부를 하시는 비전공자 분들에게 추천하고 싶습니다.

저와 같은 경제학 전공자에게도 마찬가지로 추천하고 싶습니다.

왜냐하면 이러한 분들은, 보통 전공 수업을 예로 들면, '사회통계', '경영통계학', '경제통계학' 등 비슷한 기초통계학 내용을 학과에 맞게 다듬어진 수업을 수강하면서 통계학을 배우게 되는데요.

깊은 내용보다는 전반적으로 훑는 경우가 많고, 제 경험에 미루어 보았을 때 대부분 통계학을 썩 좋아하지 않는 분들이 많았습니다. 그러다보니 개념을 명확히 이해한다기 보단, 수업을 위한, 혹은 시험을 위한 공부 정도로만 마무리하고 기계적으로 활용하게 되더라고요.

사실 저만 하더라도 데이터 사이언스를 본격적으로 전공하기 전에는 비슷한 상황이었던 것 같아서, 꽤나 공감이 갑니다.

그렇기 때문에 이 책이 매우 효과적일 것이라 생각해요.

어쨌든 이 책이 다루는 주제는 기초통계학 전반의 내용이기 때문에, 최소한 기술통계, 확률의 기초, 추론 통계, 회귀분석 정도는 알고 계신 분들이 들으면 효과적일 것 같아요.

가령 최대우도추정의 개념을 설명하기 위해 우도(likelihood)의 개념을 '어떤 파라미터를 따르는 확률분포와 보유한 관측 값들의 일관된 정도를 의미'한다고 설명하고 있는데, 이걸 통계학을 처음 접하는 분들이 단번에 이해하기엔 어려움이 있을 거라 생각합니다.

하지만, 샘플이 주어져 있을 때 확률분포의 파라미터를 추정한다는 것이 무엇인지 감은 잡은 상태이고, 하지만 명확히 우도라는 개념이 무엇인지, 그리고 우도함수(likelihood function)을 최대화하는 파라미터를 찾는다는 개념이 무엇인지 이해하기 어려웠던 분들에게는 이 책의 설명이 효과적으로 다가오겠죠.

그러한 맥락에서 이 책이 '기초통계학 정도는 수강해본 독자들'에게 큰 도움이 될 수 있을 거라 생각합니다.

최대우도추정법(Maximum Likelihood Estimation)에 대해 좀 더 예시를 들어볼까요?

MLE를 접해보신 분들 중 명확한 이해 없이 문제를 풀어보신 분들은 이러한 경험에 공감하실 거라 생각해요.

가령 'MLE가 뭔진 모르겠지만, 주어진 샘플이 따를 것이라고 추정하는 확률분포의 pdf를 곱한 likelihood function을 정의하고, 여기에 로그를 취한 log-likelihood function을 정의한 후에, 확률분포의 파라미터 $\theta$에 대해 미분함으로써 최대우도추정량을 구하는 거 아니야?' 는 아신다고 하면,

정확히 가능도와 확률의 차이가 무엇인지, 그리고 log를 취하는 이유는 무엇인지 등에 의문을 가질 수 있다는 거죠.

이 책은 위와 같이 이러한 궁금증을 단계별로 해소해주고 있습니다.

우도와 확률의 차이부터, likelihood function의 의미, 이를 최대화하는 것의 통계적 의미, 그리고 우도에 로그를 취함으로써 얻을 수 있는 이점을 로그 함수의 성질을 이용해 설명하고 있습니다.

그러한 의미에서 이 책이 비전공자를 위한 체계적이고 좋은 설명을 제공한다고 생각했습니다.

Q. 이 책의 장점은 무엇인가요?

이 책의 장점은, 책에서 언급한 '59가지 궁금증'이 통계학을 공부해본 사람으로부터 나올 수 있는 훌륭한 궁금증이라는 점에서 통계학 전문가/비전문가에게 실용적인 책이라는 것입니다.

특히 인공지능과 빅데이터라는 개념이 보편적으로 사용되고 적용되면서 통계학의 중요성이 점점 커지고 있는 상황에서, 이러한 개념들을 명확히 이해하지 않고 도구를 사용하는 데 그치는 경우가 많다 보니 통계학을 잘못 이해하고 사용되는 상황 또한 많아지고 있다는 것이죠.

그래서 이 책은, 어떻게 보면 직접 시행착오를 겪은 사람으로부터 나온 통계학의 지혜를 가장 가성비있게 습득할 수 있는 책입니다.

직접 시행착오를 겪고 깨달으셨던 분들에게는 다시 한번 복습할 수 있는 기회가 되겠고, 아직 접하지 못한 분들은 실수와 오해를 사전에 방지할 수 있다는 기회가 되겠네요.

가령 사회과학쪽 연구자들의 이야기를 듣다 보면, p-value의 오해를 가진 분들이 많은 걸 알 수 있습니다.

회귀분석을 돌려서 p-value가 0.05 (혹은 다른 정도의 유의수준) 보다 작으면 무작정 좋다고 생각하는 분들이 있는데요.

간혹 통계학 책들에서도 소개하는 개념이지만 'Practical significance vs Statistical significance' 라는 개념이 있습니다.

통계학적 유의성(Statistical significance)는 p-value 등으로 나타나는 개념으로, 어떤 효과나 차이가 우연에 의할 가능성이 있다는 걸 알려주는 거고, 실질적 유의성(Practical significance)는 관측된 효과나 차이가 실제 상황에서도 유의미한 것인지를 의미하는데요.

간혹 통계학적 유의성으로 실질적 유의성까지 도출하는 분들이 있더라고요.

반대로 상관관계를 인과관계로 오인하는 분들도 있으시고요.

이 책은 이러한 오해를 해소해줄 수 있는 책입니다.

p-value가 작으면 좋다고 하는데 왜 좋은 건지? 그리고 p-value의 정확한 의미가 무엇인지? 등을 이 책을 통해 살펴보신다면 통계학의 흥미를 느끼실 수 있을 거라 생각합니다.

정리하면 이 책은 가볍게 읽을 수 있는 비전공자를 위한 통계학 길라잡이 정도로 말할 수 있겠습니다.

수식은 꼭 필요한 경우에만 써있고, 그 외 대부분은 수식없이 시각적으로 풀어 내고자 그림과 도표를 풍부하게 활용했다보니, 꼭 책상 앞에 앉아 써가면서 공부할 필요 없이 가벼운 마음으로 읽으셔도 충분해보입니다.

저도 ktx나 카페에서 지인을 기다릴 때 보는 용도로 읽었고, 그렇게 봐도 충분히 즐겁게 이해할 수 있습니다.

또한 저자의 유튜브 강의(https://www.youtube.com/@paintingscientist) 도 있으니, 가벼운 마음으로 이해가 안 되는 개념은 시청해보셔도 유익할 것 같습니다.

저도 나중에 박사 학위까지 받고 나면, 이러한 책을 써보고 싶단 생각이 있었는데,

제 꿈에 좋은 앵커가 될 것 같아 읽으면서 참 많은 걸 느끼게 됐네요.

정말 오랜만에 남들에게 추천해주고 싶은 책을 읽게 해주신 길벗 출판사에 감사함을 전합니다.

감사합니다.

- 간토끼(DataLabbit)

- Master's student in Data Science at KAIST

- B.A. in Economics & Data Science at Univ. of Seoul

[대학원] 포항공과대학교(POSTECH) 소셜데이터사이언스 대학원 합격 후기

간토끼 — Mon, 22 Jan 2024 19:35:32 +0900

Review

참고 포스팅 :

2023.12.18 - [Records/etc] - [대학원] 카이스트(KAIST) 데이터사이언스 대학원 합격 후기

[대학원] 카이스트(KAIST) 데이터사이언스 대학원 합격 후기

안녕하십니까, 간토끼입니다. 줄곧 데이터사이언스 관련 이론에 대한 포스팅만 올리다가 데이터 사이언스에 관심이 많은 분들에게 좀 더 도움이 되고자 부끄럽지만 별 거 아닌 대학원 합격 후

datalabbit.tistory.com

안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서는 제가 진학할 대학원인 카이스트 데이터사이언스 대학원의 24년도 전기 모집전형 합격 후기를 공유해드렸었는데요.

이번 포스팅에서는 카이스트말고도 지원해서 합격한 포항공과대학교(포스텍)의 소셜데이터사이언스 대학원 합격 후기를 공유하고자 합니다.

24년 3월 입학을 예로 들면, 포항공대는 총 3번의 입시 과정을 통해 신입생을 모집하는데요.

바로 특차 모집, 1차 모집, 2차 모집입니다.

특차 모집은 제가 잘 몰라서 ... 패스하겠습니다.

1차 모집은 타 대학의 '23년 후기' 모집 시기에 진행합니다.

4월경에 서류 접수 후 5월에 서류 발표 및 면접, 6월에 최종 합격자 발표 일정으로 진행됐습니다.

이때 합격한 지원자는 입학 시기를 23년 후기 혹은 24년 전기 중 선택할 수 있는데요.

저는 24년 전기 입학으로 선택했었습니다. 물론 합격 후 입학 시기 변경도 가능은 합니다.

2차 모집은 타 대학과 마찬가지로 '24년 전기' 모집 시기에 진행합니다.

9월에 서류 접수 후 10월에 서류 발표 및 면접, 11월에 최종 합격자 발표 일정으로 알고 있습니다.

이때 합격한 지원자는 당연히 다음년도 3월에 입학을 하게 되겠죠.

결론적으로 저는 23년 4월에 서류 접수 후 6월에 합격증을 받았지만, 입학 시기는 24년 3월 예정이었습니다.

왜 그랬는지 합격 후기를 다루면서 말씀 드리겠습니다.

그러면 포항공과대학교 융합대학원 소셜데이터사이언스 전공 합격 후기를 작성해보겠습니다.

0. 대학원 소개

간단하게 포항공과대학교 융합대학원 소셜데이터사이언스 전공에 대해 소개하겠습니다.

소셜데이터사이언스 전공은 포항공대의 융합대학원 산하에 있는 프로그램형 전공인데요.

융합대학원 특성상 여러 학과의 전공 수업이 융합된 학제간 융합전공들이 개설돼있습니다.

물론 그렇다고 소셜데이터사이언스 전공이 전문대학원이나 특수대학원은 아니고요.

풀타임 일반대학원입니다.

데이터사이언스 특성상 융합학문의 성격이 강하다보니, 이러한 트렌드를 반영하여 설립된 프로그램입니다.

사회과학 베이스에 데이터 사이언스에 필요한 공학, 이학 수업이 결합된 프로그램이라고 이해하시면 됩니다.

어쨌든 설립 목적에서도 이해하실 수 있듯이, 이공계와 인문사회 영역의 융합 연구를 지향하고 있어 이를 잘 활용하셔야 합니다.

아무래도 대학 생활하시면서 특정 학문에만 강점이 있으신 것보다는 문이과 간 융합 교육을 지향한 분들에게 걸맞을 거라고 생각합니다.

소셜데이터사이언스 전공은 포스코와 SK하이닉스의 지원을 받아 운영되는 전공입니다.

그래서 입학 원서 제출시 POSCO 트랙 혹은 SK하이닉스 트랙 중 하나를 선택해서 지원하셔야 하는데요.

포스코 트랙은 학부 전공이 문과 계열이든, 이과 계열이든 상관이 없으며, 석사 혹은 석박사통합전형으로 지원하실 수 있습니다. 입학 후 지급되는 장학금의 재원은 포스코에서 지원한 재원으로 운영되고요.

SK하이닉스 트랙은 '산학장학생' 트랙입니다.

대신 학부 전공은 문과 계열에 해당해야만 지원하실 수 있고, 졸업 후 SK하이닉스로의 취업을 확정짓는 프로그램입니다.

다만 면접시 SK하이닉스에서 요구하는 별도의 시험을 치뤄야 하는 것으로 알고 있습니다.

(대부분 산학장학생도 비슷하게 인적성시험 등 자체 시험을 진행합니다.)

저는 포스코 트랙으로 지원하여 합격했었는데요.

합격하고나서 SK하이닉스 트랙으로 지원할걸 정말 후회했었습니다 ^^;

지원할 당시만 하더라도 1차 전형에 지원할 생각이 없었다가 밑져야 본전이라는 생각에 지원하다보니 면접 전형의 준비가 거의 안 되기도 했었고요.

졸업 후 특정 기업에 발목 잡히는 것이 (그때는) 싫었어서 ... 포스코 트랙으로 지원했었습니다.

정확히 어떤 직무로 배치받는지도 잘 몰라서 선택에 어려움이 있기도 했고요. 배부른 생각이었죠. ㅎㅎ

문과 계열에 해당하는 분들은 적극적으로 고민해보셔도 좋을듯합니다.

어쨌든 소셜데이터사이언스 전공도 융합전공이다보니 산업공학과 소속 교수님을 포함하여 다양한 학과의 교수님들이 계십니다.

그리고 소셜데이터사이언스 전공의 주임교수님이 운영하시는 사회문화데이터사이언스 연구소도 있고요.

https://isds.postech.ac.kr

POSTECH 사회문화데이터사이언스연구소

isds.postech.ac.kr

입학 후 첫 학기는 위 랩에서 연구를 하고, 1학기 지난 후에는 주임교수님과 면담 후 타 참여교수님 랩으로 옮길 수 있는 것으로 알고 있습니다만, 제가 재학생이 아니어서 확실하진 않네요.

그래서 대학원 지원시에는 별도의 컨택을 요구하진 않습니다.

저도 이 점이 마음에 들어서 카이스트 대학원 지원 전에 지원하고자 하는 마음이 컸었고요.

매년 8월 정도에 연구실 설명회 및 랩 투어를 진행하는 것으로 알고 있습니다.

저는 합격한 이후였기도 하고 ... 카이스트 면접을 보고 다른 일정을 진행중이라 시간이 안 맞아서 못 가긴 했습니다.

그리고 카이스트가 1순위였기 때문에 이 곳에 대한 진학 의사가 뚜렷하질 않아서 연구실 투어까지 갔다가 훗날 입학 포기하는 것도 죄송스러울 것 같았고 ... 이래저래 안 가긴 했습니다만, 진학 의사가 있으신 분들은 참여하셔서 재학생 분들의 팁도 듣고 입시 방향도 듣고 오시는 걸 추천드립니다.

뭐든 정보의 격차를 줄이는 것이 합리적 선택이라 생각합니다.

1. 지원 전 준비 과정

카이스트와 비슷하게 '방법론과 도메인의 이해'라는 점이 핵심 포인트인 것 같습니다.

소셜데이터사이언스 특성상 방법론이 메인도 아니고, 도메인도 메인이 아니라고 생각했습니다.

물론 둘 중 비중을 두자면 사회과학 도메인 70 : 방법론 30 정도 될 것 같긴 합니다.

저는 경제학을 전공하면서 복수전공으로 데이터 사이언스를 했기 때문에, 이런 부분을 잘 살려서 제가 학부 때부터 지향해온 컨셉을 설정 후 자기소개서와 연구계획서를 작성했습니다.

카이스트와 다르게 컨택은 따로 하지 않았으며, 사실 급하게 준비한 경향이 컸습니다.

카이스트 합격 후기를 보신 분들은 아시겠지만, 제가 ROTC로 군 복무를 하고 있었기 때문에, 포스텍을 지원할 시기엔 한창 군대에 있을 때였습니다. 물론 말년 중위였지만 ... 지휘관 직책을 하다 보니 시간적 여유가 없기도 했고요.

그래서 전역 후 반년은 쉬고 24년도에 입학할 생각이 컸어서 지원을 안하려고 했었습니다.

타 대학 입시도 염두에 두고 있었고요.

근데 포스텍만 유일하게 23년 후기 모집 시기에 지원해서 합격해도 24년 전기에 입학할 수 있다는 점이 메리트라고 생각했습니다.

그리고 전역 후 노베이스 상태에서 대학원 입시를 치르는 것보다는 심적으로 여유가 있을 거라고 생각했어요.

그래서 지원을 결심하게 되고 후다닥 서류를 작성했습니다.

아마 컨택을 해야하는 다른 학과 or 대학원이었다면 ... 그냥 깔끔하게 지원을 포기했을 것 같습니다.

2. 1차 서류 전형

제 기본적인 스펙은 카이스트 합격 후기글을 참고하시기 바랍니다.

포스텍은 자기소개서 문항이 좀 특이한 편에 속하는데요.

처음에 이 문항을 보고 도대체 어떻게 써야할지 감이 안 오긴 했습니다.

근데 너무 어렵게 생각하지 않고 제가 학부 시절부터 경제학, 데이터 사이언스를 전공하면서 추구해온 방향성과 제 꿈을 '자아실현'과 '공동체 기여'의 측면에서 작성했습니다.

소셜데이터사이언스 전공의 특성상 공리를 추구하는 경향이 강하다보니 막상 서술하면서 어려움을 느끼진 않았습니다.

지난 포스팅에서도 언급했지만, 꼭 '스스로 고민해서 작성'하시는 걸 추천드립니다.

외부 업체 컨설팅 받으면 ... 절대 내 것이 되지 못합니다.

두 번째 문항은 연구계획인데요.

이건 말 그대로 본인이 생각하는 연구 계획 및 방향에 대해서 잘 서술하시면 될 것 같습니다.

연구계획의 팁은 '본인의 컨셉'에 대해서 심도있게 생각해보시는 겁니다.

예를 들어 경제학을 전공한 학생이 갑자기 '자연어 처리'를 한다면 명확한 이유가 있어야겠죠? 뜬금없기도 하고요.

하지만 경제학을 전공하면서 거시경제학과 계량경제학을 수강하면서 시계열 데이터의 분석 방법론에 관심을 가졌고, 단순히 정형 데이터만 시계열성을 갖는 게 아니라 텍스트 데이터도 시계열성을 갖는다는 점에 착안하여 이를 00분야에 접목하여 심도있게 연구하고 싶다고 하면 충분히 설득력을 가질 수 있다고 생각합니다.

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마찬가지로 포스텍도 우수성 입증자료를 첨부할 수 있는데요.

카이스트에 제출한 것처럼 포스텍도 우수성 입증자료를 포트폴리오 형식으로 정리해서 제출했습니다.

포트폴리오엔 대외활동, 자격증, 장학금 수여내역, 공모전 수상내역 등을 정리해서 PPT로 만들었고요.

양식 공유는 좀 어려울 것 같고, 흔히 개발자들 포트폴리오 만들듯이 양식 참고해서 만들었습니다.

서류는 자기소개서, 연구계획서 포함하여 총 3장 정도의 분량으로 작성했네요.

3. 2차 면접 전형

칼같이 예정된 발표 일자에 맞춰서 발표됐습니다.

포스텍은 다른 학교와 다르게 학과마다 1차 합격자 발표 일정이 상이했던 것으로 기억합니다.

캘린더를 보니 날짜가 23.5.2(화) 였던 것으로 기억하는데 확실하진 않습니다.

1차 합격자 발표 후 학과 사무실에서 면접에 대한 안내 메일을 발송해줍니다.

면접 일정 안내 및 면접 절차, 그리고 예상 문제를 공유해주는데요.

면접일은 한 주 뒤인 5.10(수)입니다.

문제는 이때 5.8(월)부터 5.11(목)까지 하필 부대의 전술훈련 기간이었는데... 제가 지휘관 직책을 하다 보니 정말 빠지기 곤란한 상황이었습니다. ㅜㅜ

그래서 결국 화요일 밤까지 훈련하고, 쪽잠을 잔 후에 새벽 3시에 면접을 출발했습니다.

강원도 철원에서 포항까지 왕복하고 오니 밤 11시더군요 ... 이때 면접 준비도 잘 못하고 피곤해죽는 줄 알았습니다.

(원래는 철야 훈련이라 복귀 후 바로 출근해야 하는데 ... 대대장님의 은총으로 다음날 아침에 출근했습니다. ㅎㅎ)

학과 사무실에서 면접 예상 문제를 공유해줘서 우선 그걸 열심히 보고 제가 제출한 서류와 포트폴리오를 다시 정독하면서 최대한 체득하는 것을 목표로 했습니다.

면접 예상 문제는 그냥 학부 기초통계학과 머신러닝/딥러닝에서 다루는 개념들을 구두로 설명하는 거라 간토끼 블로그에서 쌓았던 제 내공을 믿었습니다 ... 정말 시간이 없기도 했고요.

그리고 제 서류를 보면서 예상 질문을 뽑아내기보단 ... 그냥 현장에서 어떤 걸 물어보셔도 꾸밈없이 제 생각을 잘 전달할 수 있도록 서류를 반복적으로 읽는 데 초점을 뒀습니다.

이때 부대 일정이 너무 바빴어서 어떻게 면접을 준비하고 봤는지도 모르겠네요.

평소 말하는 걸 좋아하기도 하고, 자신도 있어서 면접을 떨려하진 않는데 이 날 면접은 정말 긴장을 많이 했습니다.

잠을 못 자서 피곤한 것도 크고, 준비를 많이 못해서 제가 했던 활동조차 제대로 설명을 못할까봐 지레 겁을 먹었었네요.

걱정했던 거와 달리 면접 분위기는 정말 편안했습니다.

1분 자기소개도 잘 외워지지 않아서 걱정이었는데, 다행히 자기소개를 잘 말하고 나니까 생각보다 긴장이 풀려서 편안하게 면접을 봤네요.

교수님들께서도 면접을 편하게 진행해주신 것도 크고요.

12시였나 13시였나 암튼 지정된 시간까지 대기실에 도착하면 대학원생분들께서 출석 체크 후 각자 지원한 트랙에 맞추어 면접장으로 인솔해주셨습니다.

아마 SK하이닉스 트랙 지원자분들은 SK 자체 시험을 먼저 응시하시고,

이 시간동안 포스코 트랙 지원자분들은 면접실로 이동해서 순차적으로 면접을 진행했던 것으로 기억합니다.

면접 시간은 타이머 맞추고 15분동안 진행했던 것 같네요.

면접 질문은 사실 크게 어려울 건 없었습니다.

물론 사람마다 다르겠지만 저는 제 경험에 기반한 질문들이 많아서 답변에 어려움을 느끼진 않았고,

통계 개념 질문도 있었는데 이건 제가 자기소개서에 써놓은 제가 수강한 과목에 대한 질문이라 어렵지 않게 대답했습니다. 아마 회귀분석이랑 머신러닝의 관계 정도였던 것 같습니다.

장교로 복무하고 있던 중이라 군 경험에 대한 인성 질문도 있었네요.

결론적으로는 편안하게 면접을 봐서 긍정적인 결과를 기대할 수 있었습니다.

그리고 위에서 언급한 것처럼 저는 1차 전형에 지원했지만 23년 후기가 아닌 24년 전기 입학을 희망했기 때문에 이에 대한 질문도 있었습니다.

혹여나 저와 같은 고민을 하고 계신 분이 있다면 질문이 나올 수 있음을 염두에 두어야 할 것 같습니다.

4. 최종 합격

카이스트와 다르게 딱히 멘트는 없었던 것 같지만... 아무튼 예정된 날짜인 6.8(목)에 최종 결과를 발표했습니다.

아마 14시였던 것 같아요.

최종적으로는 카이스트 합격을 하다 보니 진학을 안하게 됐지만,

입시 전 재학생들께 메일로 궁금한 걸 질문 드렸었는데 정말 친절하게 답변을 잘해주셨었습니다.

면접날에도 친절하게 안내해주시고 긴장도 풀어주신 재학생분들이 기억에 남네요.

보실진 모르겠지만 이 자리를 빌려 감사의 말씀 드립니다.

궁금한 점은 '공개 댓글'로 남겨주시면 답글을 남겨드립니다.

비공개 댓글은 답글을 남겨드리지 않습니다. (유사한 질문을 여러번 답변하는 데에 번거로움이 있고, 대부분 궁금한 점이 비슷하기 때문입니다.)

감사합니다.

잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 :)

(구독이면 더욱 좋습니다 ^_^)

* 본 블로그는 학부생이 운영하는 블로그입니다.

따라서 포스팅에 학문적 오류가 있을 수 있으며, 이를 감안해서 봐주시면 감사하겠습니다.

- 간토끼(DataLabbit)

- B.A. in Economics, Data Science at University of Seoul

[대학원] 카이스트(KAIST) 데이터사이언스 대학원 합격 후기

간토끼 — Mon, 18 Dec 2023 18:09:15 +0900

안녕하십니까, 간토끼입니다.
줄곧 데이터사이언스 관련 이론에 대한 포스팅만 올리다가 데이터 사이언스에 관심이 많은 분들에게 좀 더 도움이 되고자 부끄럽지만 별 거 아닌 대학원 합격 후기를 공유하고자 합니다.
저는 24년 전기 전형에 지원해서 '24년 3월'에 입학을 앞두고 있습니다.

아무래도 전공자, 비전공자를 가리지 않고 데이터 사이언스의 관심은 나날이 높아져 가는 것 같습니다.
그러다보니 자연스럽게 부트캠프 후 취업 루트뿐만 아니라, 배움의 갈증을 느끼고 대학원 진학을 고민하는 분들도 늘어나는 것 같습니다.

높아지는 관심과 다르게 합격 후기를 공유하는 분들은 많지 않더라고요.
사실 인터넷 공간에서 개인적인 내용을 공유하는 게 썩 내키지 않는 분들이 많은 것도 사실이고, 소중한 정보를 내줬음에도 본인만 알기 위해 정보만 쏙 가져가시는 분들도 많다 보니 ... 공유하는 문화가 활성화되지 않는 것 같습니다.
개인적으로는 다같이 공유하는 문화가 활성화되면 좋겠다는 작은 바람이 있으나 ... 항상 이상적일 수는 없는 거니깐요. 제 포스팅이 이러한 문화를 위한 나비효과가 될 수 있길 기원합니다.

각설하고 첫번째로 제가 진학할 카이스트 데이터사이언스 대학원 합격 후기부터 작성해보겠습니다.

0. 대학원 소개
간단하게 카이스트 데이터사이언스 대학원(GSDS)에 대해 소개하겠습니다.
https://gsds.kaist.ac.kr/

KAIST 데이터사이언스대학원

gsds.kaist.ac.kr

카이스트 데이터사이언스 대학원은 '수요 중심 디지털 혁신 리더 양성' 이라는 비전을 바탕으로 설립된 대학원입니다.
과학기술정보통신부의 데이터사이언스 융합인재 양성 사업에 선정되면서, 국내 최초로 정부 지원금을 받아 운영되는 대학원입니다.
그러다보니 입학생 전원은 '카이스트 장학생(일명 카장)'입니다.
카이스트에 입학하는 전일제 대학원생들은 국장(국비 장학생) 아니면 카장(카이스트 장학생)으로 입학하는데요.

데이터사이언스 대학원처럼 운영되는 재원이 별도 예산으로 편성된 학과들은 전원 카이스트 장학생으로 선발할 겁니다.
아마 김재철 AI대학원생들도 그랬던 것 같은데 ... 자세한 건 모르겠네요.
국장과 카장의 차이는 검색하면 잘 나올테니 넘어가겠습니다.

데이터사이언스 대학원은 카이스트의 산업및시스템공학과의 하위 프로그램으로 설립된 대학원입니다.
그러다보니 산업및시스템공학과 교수님들 또한 데이터사이언스 대학원의 주축 참여교수로 계시고,
여기에 더해서 각종 학과에서 해당 학과의 도메인에 데이터사이언스 방법론을 결합해 응용하시는 여러 교수님들도 참여하여 구성돼있습니다.

그러다보니 '방법론과 도메인의 이해'라는 부분을 강조합니다.
결국 데이터 사이언스 방법론을 이용해 현실 문제를 해결하기 위해서는 데이터사이언스의 이론적 지식과 이해뿐만 아니라 본인이 특화하고자 하는 도메인에 어떻게 응용할 건지 고민해야 한다는 거죠.

저도 산업공학과와 데이터사이언스 대학원 중 어느 학과로 지원할지 많은 고민을 했었는데요.
제가 생각했을 땐 데이터사이언스 대학원의 방향성이 제가 지금까지 쌓아온 스토리 컨셉과 부합한다고 생각하여 데이터 사이언스 대학원으로 지원하였습니다.

대학원의 입시 관련 정보를 얻기 위한 가장 좋은 방법은 데이터사이언스 대학원의 유튜브 채널에서 진행하는 입시 설명회 영상을 참고하시는 겁니다.
https://www.youtube.com/@user-kq6iq7uz2m/streams

카이스트데이터사이언스 대학원

KAIST 데이터사이언스 대학원 공식유튜브 채널입니다. #카이스트 #데이터사이언스 #데이터사이언스대학원

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매학기마다 원서접수 전에 입학설명회를 진행하니, 꼭 들어보시고 궁금한 게 있으시다면 채팅으로 적극적으로 질문하시면 교수님들께서 친절히 답변해주실 겁니다.

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1. 지원 전 준비 과정
위에서 언급한대로 '방법론과 도메인의 이해'라는 부분에 초점을 두고 준비했습니다.
즉 데이터 사이언스 대학원에 진학해서 방법론에 집중할지, 아니면 방법론을 이용해 특정 도메인에서 응용할지 많은 고민을 했습니다.

이 고민이 어느정도 해결되셨다면 컨택을 하셔야 하는데요.
카이스트는 대학원들 중 컨택의 영향이 적기로 유명한 대학원이죠.
다른 학과는 모르겠으나, 카이스트 데이터사이언스 대학원은 1차 서류전형 후 2차 면접 전형에서 필기 시험과 발표 면접을 동시에 봅니다.
그러므로 컨택이 합불에 영향을 주기에는 어려울 겁니다. 아무리 컨택해도 면접 못 보면 정량적인 점수 자체가 낮으니, 볼 것도 없이 광탈이겠죠. ㅜㅜ

그럼에도 컨택은 중요합니다. 입시에 합격 후 내가 들어갈 연구실을 선정하는 것 또한 입시의 연장선이기 때문이죠.
컨택을 하지 않고 합격할 수는 있습니다. 정량적인 요소로 평가해서 선발하므로, 내가 컨택을 하지 않았더라도 면접을 잘 보면 되니깐요.
하지만 합격 후 원하는 연구실에 들어가는 건 별개의 문제입니다.
교수님들마다 갖고 계신 TO가 한정돼있기 때문에, 내가 원하는 연구실을 남들도 원한다면 제한된 정원을 갖고 경쟁해야하니 ... 아무래도 먼저 연락을 드린 학생이 교수님의 마음에 들었다면 경쟁에 훨씬 유리하겠죠.

물론 교수님들이 '합격 후 다시 연락하라'는 피드백을 주실 수 있습니다.
지원자가 마음에 드셔도 막상 지원자가 시험을 잘 못 보면 어쩔 수 없으니 ... 교수님 입장에서도 미리 확답을 주는 것보다 합격한 지원자들 가운데에서 선발하시는 게 나으실 겁니다.
비록 '합격 후 다시 연락하라'는 피드백을 받으셨어도, 합격하고 다시 연락을 드린다면 처음으로 교수님께 연락하는 다른 지원자보다는 교수님이 더 좋게 보실 가능성이 있겠죠.
아무래도 교수님들께서도 사람이신지라 초면인 학생보단 이전부터 지속적으로 교수님께 관심을 표현해온 학생이 더 마음에 드시지 않을까요?

저도 컨택을 했었는데요.
컨택을 한 교수님과 결과적으로 잘 되진 않았지만, 교수님께 긍정적인 평가를 받고 합격 후 다시 연락달라고 하셨어요.
다른 교수님들은 어떤 피드백을 주시는진 모르겠지만, 지원 전부터 확답 받기는 어려울 거라고 생각했기 때문에 긍정적이라고 생각하고 열심히 입시를 준비했습니다. (운 좋게 면접 때 컨택한 교수님이 들어오셨고, 영향이 있었는진 모르겠지만 더 잘 보이고 싶은 마음에 힘냈던 기억이 있습니다.)

2. 1차 서류 전형
제 간단한 스펙을 공유합니다.
- 학부 : 서울시립대학교 경제학부 (복수전공 : 빅데이터분석학)
- 학점 : 3.9 / 4.5 (전공 : 4.1 / 4.5)
- 어학 : 커트라인만 넘겼습니다.
저는 교양 성적이 꽤 낮기도 하고 2-1학기까진 정신을 못 차려서 평점이 3점 초반이었는데요.
2-2학기부터는 매학기 4점대 평점을 유지했었고, 4-1학기엔 4.5로 과 수석도 달성했었습니다.
그 과정에서 성적을 위한 수업을 수강하지 않고, 성적 받기 어려워도 상대적으로 학우들이 기피하고 난이도가 있는 수업에 도전을 많이 했었는데, 그 과정에서도 좋은 성적을 받은 게 제 긍정적인 특징 중 하나였다고 생각합니다.

주전공이 경제학이다보니 타 공대생들과 다르게 연구 경험은 크게 없고, 학과 캡스톤디자인 수업에서 최우수작품상으로 선정된 경험, 그리고 각종 데이터 분석 공모전에서 수상한 경험이 메인이었습니다.
(대회 수상 이력은 제 블로그에 project 카테고리를 보시면 됩니다.)

사실 줄곧 취업을 위한 스펙을 쌓아와서 연구 경험보다는 대외적인 경험이 정말 많습니다.
실전마케팅학회 경험, 학습공동체 경험, 해외봉사단 경험, 학생회장 경험, 입학홍보대사 경험 등 ...
그리고 기업 주관 대외활동(서포터즈, 기자단 등)들이 꽤 많았어서 이 활동들을 어떻게 엮을지 고민을 많이 했습니다.
결과적으로 대부분의 활동들을 많이 사용하진 못했지만, 이 활동들을 정리해서 포트폴리오 형식으로 만들고 우수성 입증자료로 제출했습니다.

카이스트는 '우수성 입증자료'를 제출할 수 있는데요.
저는 총 6개의 우수성 입증자료를 제출했습니다.

사실 6번은 좀 특이한 내용인데요.
제가 졸업 후 ROTC로 군복무를 했습니다. 그래서 졸업 후 대학원 진학까지의 공백기를 증빙하면서도 군에서 장교로 복무하면서 받았던 다양한 수상 내역과 직책 수행 능력을 어필하고자 제출했습니다.
합격에 미친 영향은 거의 없었겠지만, 나름대로 '성실성'의 척도라고 생각했습니다. 리더십 역량은 덤이고요. ㅎㅎ

대학원 입시를 준비하시다보면 학교별로 제출해야할 서류가 굉장히 많은데요.
이렇게 라벨링을 해서 관리하시면 제출에 있어서 서류를 누락할 일이 없으니 추천드립니다.

자기소개서 및 연구계획서는 팁이랄 게 없을 것 같아요.
개인적으로 외부 사설 기관의 도움을 받아서 작성하시는 건 정말 추천드리지 않습니다.
비용도 비용이지만, 사실 자소서를 잘 썼다고 해서 못 붙을 사람이 붙는 경우는 없을 것 같아요.
그리고 연구계획서 작성을 고민하시는 과정 또한 배움의 일부라고 생각합니다. 스스로 고민해본 경험 없이 그저 남이 작성한 연구계획서를 외우는 건 결코 자신의 것이 될 수 없어요.
여담이지만 사설 업체 ... 너무 비쌉니다. 혼자서 고민해보고, 작성해보세요.

입시 설명회에 참여하시면 교수님이 강조하시는 포인트가 있습니다.
그 포인트에 맞추어서 본인의 이야기를 잘 서술하시면 좋은 글이 탄생할 수 있을 거라 생각합니다.

저는 아무래도 주전공이 '경제학'이다보니 ... 이 장점이자 단점인 전공을 최대한 데이터 사이언스에 엮고자 노력했습니다.
실제로도 전공 수업도 수학, 통계학 등 방법론 위주의 수업을 수강했고, 계량경제학, 고급계량연습 수업은 1등을 달성하기도 했습니다. 이런 부분을 강조하기도 했고요.
컨셉은 만들기 나름이라고 생각합니다.

3. 2차 면접 전형

칼같이 예정된 발표 일자에 맞춰서 발표됐습니다. 이땐 8.10(목) 14시였던 걸로 기억합니다.
여담이지만 수험표 미리 출력해놓으세요 ... 위 안내사항에 명시된 것처럼 다음날까지만 로그인이 가능해서 그 이후로는 수험표 출력이 불가합니다.
# 꼭 "수험표 출력 못했는데 어떡하나요 ㅜㅜ" 라고 하는 분들 있음...

위에서 언급한대로 데이터사이언스 대학원은 2차 면접 전형에서 필기 시험과 발표 면접을 동시에 진행합니다.
필기 시험은 수리통계학과 프로그래밍에 대해서 출제되고, 친절하게 데이터사이언스 대학원 홈페이지에 들어가시면 샘플 문제들을 올려놨으니 참고하세요.
그대로 출제되는 건 아니지만 ... 그 문제들을 통해 방향성을 짐작하셔야 합니다.
공통적으로 등장하는 개념들이 있을텐데요... 굳이 언급하지 않아도 센스 있으신 분들은 금방 캐치하실 거라 생각합니다.

저는 아무래도 졸업 후 군대에서 28개월을 복무하고 ㅜㅜ 전역하자마자 바로 입시에 뛰어들어서 필기 준비가 부족했는데요.

6월 30일에 전역하고, 7월 3일에 원서 접수를 했어요. 그리고 약 한달 간 김충락 교수님의 KOCW 수리통계학 강의를 들으며 수리통계학 공부를 했습니다.
개인적으로 어느 책을 보셔도 크게 의미는 없을 것 같은데 그냥 Hogg 수리통계학 책 보면서 김충락 교수님 강의 잘 들으시면 될 것 같습니다.
저도 필기를 잘 본 편은 아니어서 팁이랄 게 없는데 ... 단순히 예제 문제 풀이를 하는 걸 넘어서 개념을 잘 이해하셔야 풀 수 있을 것 같습니다.
문제를 푸는 테크닉보다도 그 개념을 잘 이해하고 있는지 물어보는 취지가 강했어요.

프로그래밍은 학부 때 수강했던 수치해석 같은 느낌이었습니다.
코딩 역량보다도 주어진 계산 문제를 코드로 구현할 수 있는지를 물었었는데요.
자세히 말하긴 곤란하니 샘플 문제를 보시면 ... 마찬가지로 캐치할 수 있을 거라 생각합니다.

그리고 연구계획 발표 면접은 내 연구 계획서를 5분 동안 PPT로 발표한다고 생각하시면 됩니다.
5분 간 발표하면 10분 간 해당 PPT를 보신 교수님들이 여러 질문을 하시고, 잘 답변하시면 됩니다.
저는 어떻게 PPT 만들지만 생각하고 ... 1차 발표 전까진 안 만들었습니다.
애써 만들었다가 떨어지면 말짱 도루묵일 것 같아서요.

전체적인 면접 흐름은 다음과 같습니다.
(1) 면접 대기실에서 1시간 동안 필기 시험 응시
(2) 시험 종료 후 약 15분 휴식 후 1번 면접방에 입실 후 푼 문제를 교수님들께 설명드리기
(3) 1번 면접방 종료 후 2번 면접방 이동하여 연구계획 PPT 발표

참고로 본인이 푼 답안지를 복사해서 교수님들께 공유드리니 ... 꼭 풀이과정 이쁘게 쓰시기 바랍니다.
저는 저 혼자만 보는 줄 알고 대충 썼는데요.
심지어 모르는 문제는 "???" 이렇게 써놓기도 했는데 교수님께서 보시고 '3번은 물음표 ... 이게 뭐죠?' 라고 물으시기도 했네요 ... 정말 부끄러웠습니다 ㅜㅜ

그리고 못 푼 문제는 현장에서 힌트를 주시면서 답해볼 것을 유도하십니다.
분위기가 살벌하진 않았지만, 답을 못할 경우 싸해지는 건 어쩔 수 없으니 ... 최대한 답하려고 노력해보세요.

8.10(목)에 발표 후 8.14(월)에 면접을 봤던 걸로 기억합니다.
그래서 전날에 미리 대전에 가있었네요.

4. 최종 합격
면접 본 이후로 약 1달 간 기다린 끝에 합격증을 받았습니다.
이번에도 칼같이 목요일 14시에 발표됐었으니 조기 발표는 기대하지 마세요 ...

합격 축하 멘트가 정말 멋집니다.
이 멘트만 보면 카뽕이 차오르네요 ...

공식적으로는 합격 후 산업및시스템공학과 / 데이터사이언스대학원 OT가 ZOOM으로 약 1달 후에 진행됐었습니다.
OT에서는 학과 소개 및 지도교수 선정 기간에 대해서 안내됐었는데요.
제일 중요한 게 지도교수 선정에 대한 부분이죠.
교수님별 TO 안내 및 지도교수 선정 절차에 대해서 안내했었습니다.

개인적으로는 이때까지 기다리지 마시고 합격하자마자 바로 교수님께 메일 드려서 컨택하시고 미리 면담까지 하시는 걸 추천드립니다.
교수님별로 갖고 계신 TO는 1~2명 정도이고, 아마 대부분 산업및시스템공학과 소속 교수님들께 컨택하다보니 경쟁이 치열할 수 있습니다.
그럼에도 교수님들이 정해진 TO 이상으로 안 받으시기 때문에 ... 여러 가능성을 염두해두시고 교수님들께 컨택해보시기 바랍니다.

컨택이 잘 안 돼도 아마 랜덤으로 랩을 배정해주시긴 할 겁니다. 참여 교수님들이 홈페이지에서도 확인하실 수 있듯이 워낙 많으셔서요.
하지만 참여 교수님들의 백그라운드가 워낙 다양하시다보니 ... 경험해본 적 없는 랩으로 갈 가능성도 높습니다.
만약 지도교수님을 선정하지 못하면 공동 연구실에서 생활하다가 (무정부상태에 가까운 ...) 추후 교수님을 선정할 수도 있다곤 하니 너무 걱정은 안하셔도 될 겁니다.
이렇게 안내하긴 했지만 ... 무정부 상태로 대학원 생활을 하시는 건 금전적인 부분도 있고 어려움이 있지 않을까 싶긴 하네요.

어쨌든 저도 생각보다 우여곡절을 겪었어요.
결국 잘 됐다고 생각하지만, 입시보다 컨택 때 더 피말리는 느낌이었습니다.

이후 2월엔 입학 전 선형대수학, 통계학, 프로그래밍에 대한 부트캠프가 진행되니 참고하시기 바랍니다.

궁금한 점은 '공개 댓글'로 남겨주시면 답글을 남겨드립니다.
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- 간토끼(DataLabbit)
- B.A. in Economics, Data Science at University of Seoul

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 5 - 행렬식의 기하학적 의미(Geometrical Meaning of Determinant)

간토끼 — Tue, 7 Nov 2023 19:38:48 +0900

Review

참고 포스팅 :

2020.09.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

2023.11.01 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 2 - 행렬식의 유용한 성질과 수반행렬(Adjoint)

2023.11.03 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 3 - 역행렬(Inverse Matrix)과 행렬식의 관계

2023.11.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 4 - 크래머의 법칙(Cramer's Rule)

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 4 - 크래머의 법칙(Cramer's Rule)

HTML 삽입미리보기할 수 없는 소스Review 참고 포스팅 : 2020.09.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념 2023.11.01 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determi

datalabbit.tistory.com

안녕하십니까, 간토끼입니다.

어느덧 행렬식(Determinant) 시리즈의 마지막 포스팅입니다.

지난 포스팅에서는 행렬식을 이용해 해(Solution)를 구하는 방법인 크래머의 법칙(Cramer's Rule), 때때로 크라메르의 법칙이라고도 불리는 공식에 대해 다루었습니다.

이번 포스팅에서는 행렬식을 좀 더 직관적으로 이해할 수 있도록 행렬식의 기하학적인 의미(Geometrical Meaning of Determinant)에 대해 다뤄보겠습니다.

1. 행렬은 사상이다.

과거 포스팅에서 '행렬은 사상'이라는 개념에 대해 다루었었습니다.

이는 $ y = f(x)$ 라는 함수를 생각했을 때 함수 $f$ 가 주어진 변수 $x$ 를 새로운 변수 $y$ 로 보내주는 것에서 기인한다고 했었죠.

2020.07.23 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬과 사상

[행렬대수학] 행렬과 사상

Review 참고 포스팅 : 2020/07/17 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬 대수(Matrix Algebra) [행렬대수학] 행렬 대수(Matrix Algebra) 안녕하십니까, 간토끼입니다. 지난 포스팅에서는 선형 시스템(Linear S

datalabbit.tistory.com

즉 다음과 같은 선형시스템 $Ax = y$ 또한 벡터 $x$ 에 행렬 $A$ 가 곱해지면서 새로운 벡터인 $y$로 보내지는 구조임을 떠올리면 행렬 $A$ 가 사상(mapping)이라는 것을 이해하실 수 잇을 겁니다.

물론 행렬이 사상의 역할을 하기 위해서는 곱해지는 행렬과 벡터의 차원(Dimension)을 고려해줘야 한다는 것이 차이점이 될 수 있겠네요.

$y = f(x)$ 의 관계에서도 주어진 함수 $f$ 가 어떤 형태이냐에 따라서 종속변수 $y$ 가 갖는 값이 달라졌었죠.

즉 다시 생각해보면 $y = Ax$ 꼴의 선형시스템에서도 행렬 $A$ 가 어떤 행렬이냐에 따라 벡터 $y$ 가 어떤 벡터가 될지 알 수 있을 겁니다.

이러한 개념을 갖고 다음 예시를 살펴봅시다.

위와 같이 벡터 $x_{1} = [ 1, 0 ] ^{T}, x_{2} = [0, 1]^{T}$ 가 주어져있다고 합시다.

이 벡터를 column vector로 갖는 행렬 $X$ 는 2차원 identity matrix가 되겠네요.

그리고 두 행렬이 주어져있습니다.

$$ A = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} $$

$x$ 벡터들로 이루어진 행렬 $x = [\, x_{1}, x_{2} \,]$ 에 위 행렬 $A$ 와 $B$ 를 각각 곱했을 때 어떤 행렬이 만들어지는지 보도록 하겠습니다.

$x_{1}, \, x_{2}$ 가 이루고 있던 공간을 도식하면 위 그림의 좌측과 같습니다.

이 공간은 2차원 공간이므로 면적이 되겠죠. 이 면적의 크기는 1입니다.

이때 행렬 $A$ 를 곱해주면 $Ax$ 의 column vector들이 이루는 공간은 우측과 같이 변환됩니다.

$$ Ax = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} $$

벡터 $x_{1}$ 은 $[1,0]^{T}$ 에서 $[1.5 , 0]^{T}$ 로 변환됐죠.

그리고 $x_{2}$ 은 $[0,1]^{T}$ 에서 $[0 , 0.5]^{T}$ 로 변환됐고요.

이는 결론적으로 행렬 $A$ 에 의해, $x_1$ 은 1.5배 확대된 셈이 됐고, $x_2$ 는 0.5배로 확대된 셈이 됐네요.

이번엔 행렬 $B$ 를 곱해보죠.

$Bx$ 의 column vector들이 이루는 공간은 우측과 같이 변환됩니다.

$$ Bx = \begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} $$

벡터 $x_{1}$ 은 $[1,0]^{T}$ 에서 $[-1.5 , 0]^{T}$ 로 변환됐죠.

그리고 $x_{2}$ 은 앞선 케이스와 동일하게 $[0,1]^{T}$ 에서 $[0 , 0.5]^{T}$ 로 변환됐고요.

이는 결론적으로 행렬 $B$ 에 의해, $x_1$ 은 -1.5배 확대된 셈이 됐고, $x_2$ 는 0.5배로 확대된 셈이 됐네요.

표현을 -1.5배라고 하긴 했지만 연연해하지마시고 이 의미는 바로 다시 살펴보겠습니다.

위 행렬 $A$ 와 $B$ 는, 모두 벡터 $x_1$, $x_2$ 를 변환시켰죠.

이 행렬들은 벡터를 늘리거나 줄이고, 방향을 바꾸기도 했습니다.

결론적으로는 행렬 $A$ 와 $B$ 에 의해 $x$ 가 이루고 있던 공간이 새로운 공간으로 매핑됐다는 게 핵심인데요.

다만 이때 공간을 축소시키거나 차원을 줄이지 않고, 그저 전체 공간을 다른 형태로 매핑했다는 것이죠!

이때 행렬식(Determinant)은 행렬의 선형변환의 특성(벡터를 늘리거나 줄이거나 방향을 바꾸는 등)을 요약한 값이 될 수 있습니다.

행렬 $A$ 의 행렬식은 대각성분만 곱해주면 되니 $\frac{3}{4}$ 가 되겠죠.

그리고 좌측 기존 공간의 크기는 1이었는데, 우측의 새로운 공간의 크기는 $\frac{3}{4}$ 가 됐고요.

마찬가지로 행렬 $B$ 의 행렬식은 대각성분만 곱해주면 되니 $- \frac{3}{4}$ 가 되겠네요.

그리고 좌측 기존 공간의 크기는 1이었는데, 우측의 새로운 공간의 크기는 $- \frac{3}{4}$ 가 됐고요.

이때 면적의 넓이를 구할 땐 절댓값을 취해줘야 하니, 면적의 크기(넓이)는 $\frac{3}{4}$ 으로 동일하고, 다만 방향이 기존 방향에서 반대 방향으로 바뀌었네요.

이를 통해 우리는 다음과 같은 사실을 도출할 수 있습니다.

바로 기존 벡터들이 이루고 있던 공간의 부피(여기선 2차원이므로 면적)를 곱해지는 행렬의 determinant 만큼 변화된다는 것이죠!

그러므로 우리는 행렬식(Determinant)을 부피(면적)의 확대율이라고 할 수 있습니다.

만약 기존 공간을 $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$ 라고 하고, 이때의 면적을 $\frac{3}{4}$ 이라고 합시다.

그러면 행렬 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $을 $x$ 에 곱하면 우측과 같이 변환되고, 이때 행렬식의 크기(절댓값)는 1이므로, 선형변환된 공간의 크기는 기존 $\frac{3}{4}$ 으로 동일합니다.

즉 공간의 형태는 변했지만, 공간의 크기는 행렬식이 1이므로 바뀌지 않았다는 게 포인트입니다.

2. 행렬식의 기하학적 의미

이처럼 행렬식은 '선형변환의 특정 기하학적 성질을 나타내는 스칼라 값' 이라고 표현할 수 있습니다.

행렬이 공간에서 벡터를 어떻게 움직이게 하는지, 그리고 그 움직임의 '크기'와 '방향'을 나타내는 하나의 수치라고도 할 수 있는 거죠.

그리고 위에서 언급한 것처럼 행렬식은 '부피의 확대율'을 의미합니다.

어떤 행렬이 두 벡터를 변환한다면, 그 두 벡터로 형성되는 사각형의 '면적이 어떻게 변하는지(확대되는지)'를 행렬식이 수치로 나타내줍니다.

그러므로 행렬식은 복잡한 선형 변환을 하나의 숫자(스칼라)로 요약해줌으로써 그 변환의 특성을 쉽게 이해할 수 있도록 돕습니다.

(1) 크기

: 행렬식의 절댓값은 선형변환 후의 벡터들이 이루는 공간(ex. 면적, 부피 등)의 '크기'를 나타냅니다.

만약 이 절댓값이 크면 공간을 더 크게 확대시킬 것이고, 그렇지 않다면 공간을 더 작게 만든다는 것이겠죠.

(2) 방향

: 행렬식의 부호(양 혹은 음)는 변환으로 인해 공간의 '방향'이 유지되는지, 혹은 뒤집히는지를 나타냅니다.

양수면 유지되겠고, 음수면 반대 방향으로 반전되겠죠. 위 행렬 $A$ 와 $B$ 의 예시처럼요!

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3. 행렬식이 0일 때의 선형변환

위에서 다룬 예시들은 행렬식이 0이 아닐 때, 즉 행렬식이 0이 아닌 non-singular matrix에 의한 선형변환은 주어진 벡터들이 이루는 공간을 다른 공간으로 매핑(mapping)시켰죠.

이 매핑의 특징은 공간의 차원을 줄이거나 축소하지 않고 다른 형태의 공간으로 옮긴다는 것이었죠.

그렇다면 행렬식이 0인 행렬에 의한 선형변환은 어떻게 될까요?

예상하셨겠지만 행렬식이 0인 행렬에 의한 선형변환은 주어진 벡터, 행렬의 차원의 축소를 수반합니다.

그리고 이는 변환된 공간이 원래 공간보다 낮은 차원을 가지게 됨을 의미하죠.

다음 예시를 통해 살펴봅시다.

주어진 2차원 벡터 $x_{1} = [2, 1]^{T}, \,\, x_{2} = [0, 2]^{T}$ 가 이루는 2차원 공간을 생각해봅시다.

이 벡터들이 이루는 공간의 크기는 '면적'이 되겠죠.

그리고 행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}$ 는 행렬식이 0이므로 singular matrix 입니다.

그러면 이 행렬 $A$ 에 의해 주어진 벡터들의 행렬 $x$ 를 선형변환하면 어떻게 될까요?

$$ Ax = \cdots = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} $$

곱하는 과정은 생략했지만 계산해보시면 위와 같이 계산됨을 아실 수 있습니다.

$Ax$ 의 1열은 0으로만 이루어진 벡터죠. 2차원 공간에서의 어떠한 방향도 나타내지 않는 원점이 됩니다.

그리고 2열은 벡터가 되겠네요.

그러므로 주어진 $Ax$ 는 1차원 공간인 직선을 나타내고, 이 직선은 두 번째 column vector의 방향을 따르게 되겠죠.

이렇듯 행렬 $A$ 에 의한 이 선형변환은 $x$ 가 형성하는 2차원 공간의 일부를 1차원으로 축소시킵니다.

이는 선형변환에 의해 첫 번째 column vector가 원점으로 매핑되면서 공간의 차원이 감소한 것을 의미합니다.

그러면 2차원 공간(면적)이 1차원 공간(직선)으로 축소된 거잖아요?

이때 이 2차원 공간(면적)은 행렬식을 통해 계산될 수 있습니다.

주어진 행렬의 행렬식은 행렬 그 자체로 이루는 공간의 부피(volume)와 같습니다.

이때 부피는 음수가 될 수 없으니, 행렬식의 절댓값은 부피(volume)이 되겠죠.

위 그림의 예시를 살펴보시면, 주어진 벡터 $x$ 들이 이루는 공간인 면적의 크기도 행렬식인 1로 계산될 수 있었고,

우측 또한 마찬가지로 $det\,(Ax)$ 를 구하면 $\frac{3}{4}$ 가 되고, 이는 실제로 직사각형의 넓이를 대수적으로 구해봐도 동일함을 알 수 있죠.

정리하면 다음과 같습니다.

만약 주어진 벡터가 2차원 공간을 형성하고 있다면 이때 행렬식의 절댓값은 이 평면의 '면적'이 될 것이고,

3차원 공간을 형성하고 있다면 행렬식의 절댓값은 이 공간의 '부피'를 의미할 것입니다.

행렬식이 공간의 부피(volume)를 의미한다는 것을 이해하셨다면 다음 행렬식의 성질도 쉽게 이해하실 겁니다.

앞선 포스팅에서 주어진 행렬의 특정 열, 혹은 행에 임의의 scalar $t$ 를 곱해주면, 이때의 행렬식은 기존 행렬의 행렬식에 $t$ 를 곱해준 것과 같다고 했었죠.

기존 벡터공간이 좌측이라면, 벡터 $a_{1}$ 에 상수 $t$ 를 곱해주면 해당 벡터의 크기를 $t$ 배 늘리잖아요?

그러므로 부피가 $t$ 배 늘어나는 것과 동일하고, 이때의 부피는 '행렬식'과 같으므로 기존 행렬식에 $t$ 를 곱해준 것과 동일하겠죠.

여기까지 행렬식에 대해서 다뤄보았습니다. 긴 시리즈였네요.

다음 포스팅부터는 벡터 공간(Vector Space)에 대해 다뤄보겠습니다.

감사합니다.

잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 :)

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* 본 블로그는 학부생이 운영하는 블로그입니다.

따라서 포스팅에 학문적 오류가 있을 수 있으며, 이를 감안해서 봐주시면 감사하겠습니다.

- 간토끼(DataLabbit)

- B.A. in Economics, Data Science at University of Seoul

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 4 - 크래머의 법칙(Cramer's Rule)

간토끼 — Sun, 5 Nov 2023 00:00:56 +0900

Review
참고 포스팅 :

2020.09.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념
2023.11.01 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 2 - 행렬식의 유용한 성질과 수반행렬(Adjoint)
2023.11.03 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 3 - 역행렬(Inverse Matrix)과 행렬식의 관계

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 3 - 역행렬(Inverse Matrix)과 행렬식의 관계

HTML 삽입 미리보기할 수 없는 소스 Review 참고 포스팅 : 2020.09.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념 [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념 안녕하

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서는 역행렬의 개념을 소개하면서 역행렬과 행렬식의 관계에 대해서 다뤘었습니다.
그리고 행렬식을 이용해 역행렬을 구할 수 있다는 것은, $Ax = b$ 로 표현되는 선형시스템에서의 해(solution) $x$ 를 구할 수 있다는 것과 같겠죠.

이번 포스팅에서는 이러한 관계를 바탕으로 행렬식을 이용해 선형시스템의 해(solution)을 구하는 방법인 크래머의 법칙(Cramer's Rule)에 대해 다뤄보겠습니다.

1. 크래머의 법칙(Cramer's Rule)

행렬식의 첫번째 시리즈에서 간단하게 언급하였던 개념을 떠올려봅시다.
바로 행렬식을 이용해서 방정식의 해를 구할 수 있다는 아이디어였죠.

위와 같은 미지수 2개, 방정식이 2개인 선형 시스템을 생각해보면, $Ax = b$ 라는 notation으로 쓸 수 있었습니다.

이때 지난 포스팅에서 다루었던 행렬식을 이용해 구하는 '역행렬(Inverse Matrix)'의 공식 $A^{-1} = \frac{1}{det \,\,(A)} \,\, adj \,\,(A)$ 에 의해 역행렬은 다음과 같이 쓸 수 있겠죠.

그렇다면 위 문제의 계수행렬 $A$ 의 역행렬은 다음과 같습니다.

$$ A^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22} \, - \, a_{12}a_{21} } \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} $$

이 역행렬을 이용하여 선형시스템의 solution $x$ 는 $A^{-1} b$와 같으니 전개해주면 쉽게 구할 수 있습니다.

$$ x = A^{-1} \, b = \frac{1}{a_{11}a_{22} \, - \, a_{12}a_{21} } \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix} $$

이때 좌변 $x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}$ 이 되고, 우변은 전개해주면 위 그림의 우측 부분과 같습니다.

이때 방정식의 해 $x$ 의 분모는 행렬식임을 직관적으로 이해할 수 있는데요.
분자의 형태도 2차원 행렬식을 전개한 것과 유사하게 생기지 않았나요?

한번 각 $x$ 의 분자인 (1), (2) 부분을 따져봅시다.

역시 흥미로운 관계가 보이네요.

(1)에 대응되는 $x_{1}$ 에 대한 분자 부분을 보면, 행렬 $A$ 의 1열을 상수항 벡터 $b$ 로 대체한 행렬의 행렬식임을 알 수 있고,

마찬가지로 (2)에 대응되는 $x_{2}$ 에 대한 분자 부분을 보면, 행렬 $A$ 의 2열을 상수항 벡터 $b$ 로 대체한 행렬의 행렬식임을 알 수 있네요.

그렇다면 우리는 방정식의 해 $x_{1}$ 와 $x_{2}$ 를 다음과 같이 쓸 수 있겠습니다.

즉 i번째 $x$ 는 계수행렬 $A$ 의 i번째 column을 상수벡터 $b$ 로 대체한 행렬의 determinant를 분자로 사용한다는 것이 포인트입니다.

그래서 우리는 이를 크래머의 법칙(Cramer's Rule)이라고 부릅니다.

크래머의 법칙은 행렬식을 이용하여 선형시스템의 solution을 구하는 방법입니다.

물론 계수행렬 A의 행렬식은 당연히 0이 되면 안 되겠죠.
이를 만족한다면 ith solution $x_{i} = \frac{ | A_{i} |}{| A |}$ 이라고 할 수 있습니다.

그리고 행렬 $A_{i}$ 는 행렬 $A$ 의 i번째 열을 상수벡터 $b$ 로 대체한 행렬이 되겠네요.

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2. 크래머의 법칙의 유도 과정

그러면 과연 크래머의 법칙은 어떤 과정에 의해서 유도된 걸까요?

다음 $Ax = b$ 꼴의 선형시스템에서 solution $x$ 를 구하는 과정을 다시 생각해봅시다.

즉 우리가 궁금한 것은 위에서 정의한 행렬 $A_{i}$ 가 어떻게 $adj \,\,(A) \, b$ 에서 유도됐는가에 대한 부분일 것 같습니다.
그렇죠? (안 궁금하시다면 ... ㅜㅜ)

그러면 한번 adjoint부터 뜯어보죠.
행렬 $A$ 의 adjoint는 cofactor 들의 행렬을 전치시킨 행렬이라고 했었습니다.

그리고 cofactor $c_{ij} = (-1)^{i+j} \, M_{ij}$ 라고 정의했고,
이때 $M_{ij}$ 는 $a_{ij}$ 을 제외한, 즉 i번째 행 & j번째 열을 제외한 부분 행렬의 행렬식인 Minor 라고 했습니다.

이 adjoint를 다시 생각해보면 'cofactor로 이루어진 행렬을 전치(transpose)한 행렬'이므로,
'adjoint의 i번째 행은 행렬 $A$ 의 i번째 열에 대한 cofactor들로 이루어져 있다' 라는 사실과도 이어서 생각해볼 수 있겠네요.

즉 2x2 행렬을 예로 들면,
$adj(A)$ 의 1행은 $ [ a_{22}, -a_{12} ] $ 이고, 이는 행렬 $A$ 의 1열인 $[a_{11}, a_{21}]^{T}$ 의 cofactor와 같으니깐요.

자 그러면 다시 cramer's rule 로 돌아와서 생각해봅시다.
1번째 solution인 $x_1$ 의 분모는 $A$ 의 행렬식이고, 분자는 adjoint의 1번째 행과 상수벡터 $b$ 를 곱한 것과 같습니다.

즉 adjoint의 1번째 행과 상수벡터 $b$ 사이의 내적(inner product)이라고 할 수 있겠죠!

위에서 adjoint의 i번째 행(row)이 원래 행렬 $A$ 의 i번째 열(column)의 cofactor라고 했잖아요?

근데 cofactor는 행렬 $A$ 의 i번째 열(column)을 제외한 부분 행렬의 행렬식인 Minor를 갖고 있다고 했으니까,

adjoint와 상수벡터 $b$ 가 내적한다는 것은 이 제외된 부분을 $b$ 로 대체했을 때 얻어지는 새로운 행렬의 행렬식 $|A_{i}|$ 을 계산하는 것과 동일한 결과를 준다는 겁니다!

그래서 이를 일반화하면 다음과 같습니다.

만약 n차원 square matrix $A$ 에 대하여 i번째 열을 상수벡터 $b$ 로 대체한 행렬의 행렬식은 다음과 같습니다.

$$ |A_{i}| \, = \, \sum_{k=1}^{n} (\, adj\,\,(A))_{ik} \, b_{k} $$

adjoint의 i번째 행과 상수벡터 $b$ 와의 내적(inner product) 와 같다는 거죠!

우리는 이렇게 크래머의 법칙을 유도해볼 수 있습니다.

여담이지만 이 adjoint와 행렬 $A$ 간에는 흥미로운 관계가 있습니다.

바로 adjoint와 행렬 $A$ 를 곱하면 determinant와 identity matrix $I$ 를 곱한 것과 같습니다.

$$ adj\,\,(A) \, A = |A| \, I $$

이는 역행렬의 정의로부터 간단하게 유도할 수 있습니다.

쉽죠?

그러면 마지막으로 지금까지 다루었던 선형시스템의 해(solution)을 구하는 방법을 정리해보겠습니다.

만약 주어진 선형시스템에서 계수행렬 $A$ 가 square matrix고, 이 행렬의 determinant가 0이 아니라면 해를 구하는 방법은 총 4가지로 정리해볼 수 있습니다.

(1) 가우스 소거법, (2) 가우스-조던 소거법, (3) 역행렬을 찾아서 $ x = A^{-1} b $ 를 통해 solution 구하기

그리고 마지막으로 이번 포스팅에서 다룬 (4) 크래머의 법칙(cramer's rule) 입니다.

사실 크래머의 법칙도 신기한(?) 공식이지만, 실제로 행렬의 차원이 커진다면 행렬식을 구하는 것이 여간 쉬운 일이 아니어서 연산량이 많은 공식이긴 합니다.

상황에 따라서 적절한 방법을 사용하시는 걸 추천드립니다.

감사합니다.
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따라서 포스팅에 학문적 오류가 있을 수 있으며, 이를 감안해서 봐주시면 감사하겠습니다.

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[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 3 - 역행렬(Inverse Matrix)과 행렬식의 관계

간토끼 — Fri, 3 Nov 2023 08:00:03 +0900

Review

참고 포스팅 :

2020.09.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

안녕하십니까, 간토끼입니다. 이번 포스팅에서는 행렬식(Determinant)에 대해서 다뤄보겠습니다. 내용이 다소 길어 2부작으로 나누어 올리려고 합니다. 행렬식(Determinant)이란, 정방행렬(Square Matrix)

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2023.11.01 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 2 - 행렬식의 유용한 성질과 수반행렬(Adjoint)

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 2 - 행렬식의 유용한 성질과 수반행렬(Adjoint)

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

행렬식 시리즈의 3번째 포스팅입니다. 생각보다 다루다보니 욕심이 생겨서 총 5부작으로 진행할 예정입니다.

지난 포스팅까진 행렬식의 성질에 대해서 다뤄보았으며, 특히 포스팅의 마지막엔 수반 행렬(Adjoint)의 개념을 소개하며 마무리했었죠.

이번 포스팅에서는 새로운 개념인 역행렬(Inverse Matrix)에 대해 소개하고, 이 역행렬과 행렬식이 어떤 관계가 있는지에 대해 다뤄보겠습니다.

1. 역행렬(Inverse Matrix)의 개념

역행렬에 대해서 알아보기 전에, 가볍게 다음과 같이 간단한 미지수가 1개인 방정식을 생각해봅시다.

만약 $2x_{1} = 4$ 라는 방정식이 있다면, 이 방정식의 해 $x_{1}$ 는 어떻게 구할 수 있을까요?

간단합니다.

바로 계수의 역수인 $\frac{1}{2}$ 을 양변에 곱해줌으로써 해를 구하면 되겠죠.

그러면 미지수가 2개인 방정식의 해는 어떻게 구할까요?

우선 미지수가 2개이니, 2개의 식이 필요하겠죠.

연립방정식을 이용해도 되겠지만, 우리는 행렬의 개념에 대해 배우면서 위 선형시스템(linear system)을 다음과 같이 표기할 수 있다고 했습니다.

$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} \, = \, \begin{bmatrix} 13 \\ 8 \end{bmatrix} $$

여기서 방정식의 계수 부분을 행렬 $A$ 라고 할 수 있겠으며, 이는 계수 행렬(Coefficient Matrix)이라고 했습니다.

그러면 방정식의 해(solution) $x$ 는 행렬 $A$ 를 이용해서 어떻게 구할 수 있을까요?

우리가 배운 개념을 활용한다면 행렬 $A$ 를 가우스 소거법이나 가우스-조던 소거법을 이용해서 해를 구할 수 있겠죠.

하지만 위에서 언급한 '계수의 역수를 곱하는' 방법을 사용해볼 수도 있지 않을까요?

만약 양변에 $A$ 의 역수를 곱합으로써 $ \frac{1}{A} \,Ax = \frac{1}{A} \, b $ 라는 식이 가능하다면,

우리가 찾고자 하는 solution vector $x$ 는 $\frac{1}{A} \, b$ 와 같지 않을까요?

결론부터 말하자면 $A$ 는 행렬(Matrix)이므로, 상수(scalar)가 아니기에 분수 꼴로 표현할 수 없습니다.

그렇지만 이런 관점으로 접근해보는 것은 충분히 합리적인 접근 방법이라고 생각합니다.

역행렬(Inverse Matrix)은 이러한 관점을 만족하는 개념입니다.

만약 어떤 정방행렬(Square Matrix) $A$ 가 있다고 가정합시다.

그리고 다음을 만족하는 행렬 $A^{-1}$ 을 행렬 $A$ 의 역행렬이라고 정의합니다.

$$ A\,A^{-1} = A^{-1}\,A = I $$

직관적으로 어떤 상수 $k$ 와 이 상수의 역수 $\frac{1}{k}$ 를 곱해주면 1이 되는 것과 유사한 개념입니다.

그리고 상수 $k$ 의 우측이든 좌측이든 상수의 역수 $\frac{1}{k}$ 를 곱해주면 항상 1이 되죠.

행렬의 관점에서는 이를 right inverse, left inverse 라고 합니다.

그리고 위 행렬 $A$ 를 다음과 같이 가역행렬(Invertible Matrix) 이라고 합니다.

또한 이런 가역행렬은 항상 Non-singular Matrix 입니다.

그러면 임의의 가역행렬에 대해서 역행렬은 항상 유일하게 존재할까요?

네, 맞습니다. 항상 유일한 역행렬을 갖습니다.

만약 가역행렬 $A$ 의 Left Inverse를 $C$ 라고 하고, Right Inverse를 $B$ 라고 합시다.

그러면 역행렬의 정의에 의해 $CA = I$ 와 $AB = I$ 는 항상 성립하겠죠.

$$ Then \,\,\, C = CI =C(AB) = (CA)B = IB = B , \,\, \therefore \,\, C = B = A^{-1} $$

위 과정을 통해 가역행렬의 역행렬은 항상 유일함을 증명할 수 있습니다.

간단한 2차원 행렬을 통해 가역행렬과 그 역행렬의 곱이 Identity Matrix가 되는지 한번 보도록 하죠.

우리는 역행렬을 구하는 방법을 아직 모르지만, $ A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $ 의 역행렬이 $ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{5}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $ 라고 합시다.

그러면 위 과정을 통해 앞에서 곱하든, 뒤에서 곱하든 항상 Identity Matrix 가 됨을 알 수 있습니다.

2. 역행렬(Inverse Matrix) 구하기

이번에는 직접 역행렬을 구해봅시다.

역행렬을 구하는 방법은 크게 2가지로 나눌 수 있습니다.

첫 번째는 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)을 이용하는 것이고,

두 번째는 행렬식(Determinant)을 이용하는 것입니다.

하나씩 살펴보죠.

(1) 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination) 이용

예시로 2차원 행렬 $ A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $ 을 가정합시다.

그리고 이 행렬은 역행렬이 존재하는 가역행렬입니다.

가역행렬이라는 사실은 행렬 $A$ 의 행렬식이 0이 아님을 보임으로써 쉽게 확인할 수 있는데요.

행렬식을 이용한 방법에서 이 개념을 다룰 예정이니 우선 기억만 해둡시다.

각설하고, 먼저 행렬 $A$ 와 2차원 Identity Matrix $I$ 를 결합한 확장 행렬(Extended Matrix)의 형태로 만들어줍니다.

확장 행렬은 첨가 행렬(Augmented Matrix)와 같은 말입니다.

그리고 이 확장 행렬에서 행렬 $A$ 를 기본 행 연산(Elementary Row Operarion)을 통해 Identity Matrix 로 만들어주면 됩니다.

즉 Gauss-Jordan 소거법을 이용해서 RREF (기약 행 사다리꼴 형태) 로 만들어주는 거죠!

그러면 위와 같이 최초 $ [\,A \,|\, I \,] $ 였던 행렬이 $ [\,I \,|\, A^{-1} \,] $ 의 꼴로 바뀐 것을 알 수 있습니다.

이렇게 가우스-조던 소거법을 이용해서 역행렬을 구해줄 수 있습니다.

근데 좀 번거롭네요.

만약 3차원, 혹은 4차원 등 차원이 커진다면 역행렬을 가우스-조던 소거법으로 계산하는 것은 다소 부담이 될 것 같습니다.

그럴 땐 행렬식을 이용하는 방법이 대안이 될 수 있습니다.

2. 행렬식(Determinant) 이용

우선 행렬식을 구해보면 -2 가 나옴은 쉽게 이해하실 수 있을 것 같습니다.

$A$ 의 역행렬 $A^{-1}$ 은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ A^{-1} = \frac{1}{det \, (A)} \,\, adj\,(A) $$

여기서 $adj \, (A)$ 은 지난 포스팅에서 다루었던 수반 행렬(Adjoint)가 되겠죠.

그리고 $\frac{1}{det \, (A)}$ 을 곱해주는데요.

여기서 왜 가역행렬의 행렬식이 0이 되면 안 되는지 이유를 알 수 있습니다.

만약 행렬식이 0이라면 $\frac{1}{0}$ 은 정의할 수 없으므로 역행렬 $A^{-1}$ 은 존재할 수 없죠.

그러므로 역행렬이 존재하는 가역행렬이 되려면, 이 행렬의 행렬식은 항상 0이 되어서는 안 됩니다.

그러면 한번 행렬식과 adjoint를 이용해 역행렬을 구해봅시다.

지난 포스팅에서 adjoint 의 개념을 보고 오셨다면 어렵지 않을 거라 생각합니다.

어쨌든 가우스-조던 소거법을 이용하든, 행렬식을 이용하든 역행렬은 동일함을 보일 수 있습니다.

둘 중 편한 방법을 사용하시면 되지만 ... 4차원 이상으로 행렬이 커지게 되면 손으로 역행렬을 구하는 것은 꽤나 어려울 것 같습니다. (저는 계산이 약해서 무조건 실수를 합니다 ... ㅜㅜ)

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그나저나 재밌는(?) 사실들이 보이는 것 같습니다.

가우스-조던 소거법을 이용하면 가역행렬은 항상 RREF, 즉 Identity Matrix 가 된다는 건데요.

기억하실진 모르겠지만, 가우스-조던 소거법 포스팅에서 간단하게 랭크(rank)의 개념을 다뤘었습니다.

2020.07.01 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

[행렬대수학] 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

Review 참고 포스팅 : 2020/06/28 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 가우스 소거법(Gaussian Elimination) [행렬대수학] 가우스 소거법(Gaussian Elimination) Review 참고 포스팅 : 2020/06/28 - [Statistics/Matrix Algebra]

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즉 rank는 pivot의 개수를 의미하죠. 그러므로 위 가역행렬 $A$ 의 rank는 2이고, 이는 $A$ 의 차원(Dimension)인 $n=2$ 과 같음을 알 수 있습니다.

생각해보면 가역행렬의 행렬식은 항상 0이 아닌 상수잖아요?

그러면 역행렬을 갖는 어떤 n x n 가역행렬은 항상 행렬식이 0이 아닌 상수이고, rank(A) = n 을 만족하며 유일한 역행렬을 갖는 행렬이겠네요?

이렇듯 임의의 행렬이 가역행렬(Invertible Matrix)이라면, 다음과 같은 명제는 모두 동치입니다.

추가로 가역행렬 $A$ 의 전치행렬 $A^{T}$ 또한 가역행렬입니다.

사실 위 사실들 말고도 중요한 사실들이 많습니다.

rank(A) = n 이라는 것은 행렬 A의 모든 column은 linearly independent 한다는 것을 의미하고,

이는 행렬의 column들이 $R^{n}$ 의 basis가 되어 행렬의 column space가 $R^{n}$ 이 됨을 의미합니다.

뿐만 아니라 고윳값(Eigen Value)의 개념과도 연결할 수 있고요.

하지만 아직 이런 개념들을 다루기엔 시기상조이니, 조만간 다루도록 하겠습니다.

다음 포스팅에서는 행렬식을 이용해 행렬의 해(solution)을 구하는 방법인 크래머 룰(Cramer's Rule)에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

감사합니다.

잘 읽으셨다면 게시글 하단에 ♡(좋아요) 눌러주시면 감사하겠습니다 :)

(구독이면 더욱 좋습니다 ^_^)

* 본 블로그는 학부생이 운영하는 블로그입니다.

따라서 포스팅에 학문적 오류가 있을 수 있으며, 이를 감안해서 봐주시면 감사하겠습니다.

- 간토끼(DataLabbit)

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[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 2 - 행렬식의 유용한 성질과 수반행렬(Adjoint)

간토끼 — Wed, 1 Nov 2023 17:49:04 +0900

Review

참고 포스팅 :

2020.09.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

선형대수학을 다루다가 타이밍을 놓쳐서 다시 다룰 생각이 사실 없었는데, 블로그 유입 트렌드를 보니 생각보다 몇 안 되는 포스팅들이 인기가 많더라고요.

요즘 다시 공부하고 있기도 하고 ... 인기를 이어가고자(?) 약 3년 만에 다시 시리즈를 이어가보겠습니다.

지난 포스팅에서는 행렬식의 개념에 대해서 다뤘습니다. 행렬식을 전개하는 방법을 주로 강조했었는데요.

이번 포스팅에서는 행렬식의 유용한 성질, 그리고 차후 포스팅을 위해 필요한 개념인 수반행렬(Adjoint)에 대해 다뤄보겠습니다.

1. 행렬식의 유용한 성질

먼저 행렬식을 다시 살펴보죠.

행렬식(Determinant)은 다음과 같이 쓸 수 있었습니다.

$$ det\,(A) = | \, A \, | = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det\,(A_{ij}) $$

위에서는 특정 i번째 행을 고정했지만, 행이 아닌 특정 열(column)을 고정해도 무방합니다.

이러한 행렬식은 square matrix에서만 정의할 수 있고,

matrix를 특정한 방법으로 하나의 수를 대응시키는 일종의 함수라고 말씀드렸었습니다.

그러면 이러한 행렬식의 몇 가지 성질들을 살펴보면서 행렬식을 좀 더 이해해봅시다.

(1) 단위행렬(Identity Matrix)의 행렬식은 항상 1이다.

임의의 n차원의 identity matrix의 행렬식은 항상 1입니다.

간단한 예시를 통해 이해해보죠.

$$ Let \,\, I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

우리는 지난 포스팅을 통해 2차원 행렬의 경우 '행렬식은 대각원소의 곱끼리의 차'임을 알고 있습니다.

그러므로 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 1 - 0 = 1$ 이 되겠죠.

직관적인 이해를 돕기 위해 2차원 행렬을 가정했으나, 차원의 수를 확장하여도 결과는 같습니다.

(2) 행렬 $A$와 전치행렬 $A^{T}$ 의 행렬식은 같다.

행렬식이 정의되는 square matrix라면, transposed한 행렬과 행렬식이 같습니다.

즉 $ |\,A \,| = | \, A^{T} \, |$ 가 성립합니다.

위 전개 과정을 보시면 직관적으로 이해가 되실 겁니다.

(3) 행렬 $A$ 의 임의의 두 행 혹은 열을 서로 교환하여 얻어진 행렬 $B$ 의 행렬식 $|\, B \, |$ 은 $- |\, A\, |$ 이다.

행교환, 혹은 열교환을 통해 얻어진 행렬 $B$ 를 가정하면,

이 행렬의 행렬식은 기존 행렬의 행렬식에 -(음의 부호) 를 붙인 것과 같습니다.

위 예시에서는 행렬 $A$ 의 2행과 3행을 서로 교환하여 행렬 $B$ 를 정의하였습니다.

(4) 행렬 $A$ 의 임의의 행 혹은 열에 상수 $t$ 배를 한 행렬 $C$ 의 행렬식 $| \, C \, |$ = $ t \,| \, A \, |$

이번엔 임의의 행 혹은 열에 상수 $t$ 를 곱한 행렬 $C$ 를 가정해봅시다.

그러면 이 행렬의 행렬식은 기존 행렬의 행렬식에 $t$ 를 곱한 것과 같습니다.

이번엔 행렬식의 성질을 좀 더 확장해보겠습니다.

바로 '다중선형성(Multilinearity)'이라는 성질인데요.

다중선형성은 크게 가산성(Additivity) or 선형성(Linearity), 그리고 동차성(Homogeneity), 교대성(Alternating Property)로 구분해볼 수 있습니다.

하나씩 살펴보죠.

(1) 동차성(Homogeneity)

동차성은 직전에 다루었던 개념인데요.

행렬의 한 행, 혹은 열에 상수(scalar)를 곱한 경우, 행렬식은 그 스칼라를 곱한 값과 같아집니다.

$$ det\,(t \, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) = t \, det\,(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) $$

그리고 이걸 좀 더 다르게 생각해서 행렬 전체에 동일한 스칼라를 곱한 경우는 어떻게 될까요?

즉 $t\,A$ 의 행렬식에 대해서도 생각해볼 수 있겠죠.

답은 행렬의 차원, 즉 $n$ 만큼 제곱한 $t^{n}$ 값을 행렬식에 곱해주면 됩니다.

$$ det \, (t\,A) = det \, (t \, a_{1}, t\, a_{2}, \cdots , t\,a_{n}) = t^{n} \, det\, (A) $$

왜냐하면 한 행에 scalar를 곱했을 땐 1번만 곱해줬는데,

이걸 n개의 행, 혹은 열에 곱해주는 거니 scalar를 n번 곱해주는 것과 같기 때문이죠!

(2) 가산성(Additivity) or 선형성(Linearity)

이번엔 이러한 경우를 생각해봅시다.

행렬의 특정 행, 혹은 열이 두 벡터의 합으로 표현되는 경우죠.

위 예시에서는 1열이 두 벡터의 합으로 표현됩니다.

$$ \begin{bmatrix} 1+3 \\ 3+2 \\ 1+1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} $$

그러므로 이 행렬의 행렬식은 두 행렬의 행렬식의 합으로 표현될 수 있습니다.

바로 두 벡터로 쪼개지는 행을 제외하고 나머지 행은 동일한 행을 갖고 있으며, 1행에만 각 벡터를 대입하여 얻은 행렬의 행렬식의 합과 같다는 거죠.

위 그림을 보면 직관적으로 이해가 되실 거라 생각합니다.

(3) 교대성(Alternating Property)

교대성은 위에서 다룬 개념입니다.

바로 행렬 $A$ 의 임의의 두 행 혹은 열을 서로 교환하여 얻어진 행렬 $B$ 의 행렬식 $|\, B \, |$ 은 $- |\, A\, |$ 라는 성질이죠.

넘어가겠습니다.

(4) 곱셉성(Multiplicativity)

다중선형성과는 조금 다른 성질이지만, 종종 함께 언급되는 성질입니다.

두 행렬 $A$, $B$ 의 곱의 행렬식은 각각의 행렬식의 곱과 같다는 것입니다.

그렇다면 이런 선형적인 케이스도 생각해볼 수 있지 않을까요?

바로 $det \, (A + B)$ 와 $det\,(A) + det\, (B)$ 가 같을까에 대한 질문인데요.

정답은 '안 된다' 입니다. ㅜㅜ

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직관적으로 이해하기 위해 2차원 행렬을 가정해봅시다.

$$ Let \,\, A = (a_{1}, a_{2}) , B = (b_{1}, b_{2}) $$

그러면 이 두 행렬의 합의 행렬식을 정의하고, 전개하면 다음과 같습니다.

$$ det\,(A + B) = det\,(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}) = \cdots = |\,A\,| + |\, B \,| + det\,(b_{1}, a_{2}) + det\,(a_{1}, b_{2}) $$

전개 과정에서 (2) 선형성의 성질을 사용했습니다.

즉 $det\,(A+B)$ 에서는 $det\,(b_{1}, a_{2}) + det\,(a_{1}, b_{2})$ 의 항이 발생하므로 같지 않습니다.

이번엔 특이한 행렬을 잠시 소개해보겠습니다.

바로 삼각행렬(Triangular Matrix) 입니다.

삼각행렬은 크게 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)과 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix)로 구분할 수 있는데요.

이 삼각행렬은 보시다시피 삼각형의 부분을 제외한 나머지 부분이 0인 행렬입니다.

그러므로 삼각행렬의 행렬식은 행렬의 대각성분을 곱한 값이 됩니다.

위 하삼각행렬의 예시인 $B$ 를 한번 행렬식의 전개 과정에 따라 전개해보겠습니다.

1행을 고정하고 전개해보았더니 동일하게 $4$ 가 도출됨을 알 수 있습니다.

지난 포스팅에서 행렬식을 전개할 때 0이 많은 행이나 열을 고정하면 계산이 유리함을 강조했었습니다.

그러한 의미에서 포스팅의 초반 부분에서 다룬 '단위행렬의 행렬식은 항상 1이다'의 개념은 위 삼각행렬의 성질과도 이어질 수 있습니다.

단위행렬 또한 삼각행렬의 케이스 중 하나이기 때문이죠.

물론 주대각성분이 1이고 나머지는 0이므로, 상삼각행렬이 될 수도 있고, 하삼각행렬이 될 수도 있죠.

좀 더 개념을 확장하면 이렇게 주대각성분을 제외한 나머지 원소가 0인 행렬을 대각행렬(Diagonal Matrix)라고 합니다.

그리고 모든 대각행렬은 삼각행렬의 특별한 경우이고, 단위행렬은 이러한 대각행렬의 한 예입니다.

2. 수반 행렬(Adjoint)

이번엔 새로운 개념을 소개해보겠습니다.

바로 수반 행렬, adjoint라고 불리는 행렬인데요. 수반 행렬은 다소 생소하니 ... 그냥 앞으로 adjoint라고 하겠습니다.

행렬 A의 adjoint는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

바로 여인수(cofactor)로 이루어진 행렬을 전치시킨 행렬인데요.

위에서 보시는 것처럼 각 cofactor를 transpose 시킨 꼴임을 이해하실 수 있겠죠.

행렬 $A$ 를 2차원 행렬이라고 가정합시다.

$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$

그러면 행렬의 cofactor는 $c_{11} = a_{22}, c_{21} = - a_{12}, c_{12} = - a_{21}, c_{22} = a_{11} $ 라고 할 수 있겠죠.

adjoint는 이 cofactor로 이루어진 행렬을 transpose한 꼴이니까 다음과 같습니다.

$$ adj(A) = \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} $$

이 adjoint는 행렬의 역행렬을 구하는 데 매우 유용하게 활용됩니다.

다음 포스팅에서는 역행렬에 대해 소개하고, 행렬식과 역행렬의 관계를 다뤄보도록 하겠습니다.

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따라서 포스팅에 학문적 오류가 있을 수 있으며, 이를 감안해서 봐주시면 감사하겠습니다.

- 간토끼(DataLabbit)

- B.A. in Economics, Data Science at University of Seoul