[시계열분석] 확률보행과정(Random Walk Process)

Review

참고 포스팅 : 

 

2021.07.05 - [Statistics/Time Series Analysis] - [시계열분석] 백색잡음과정(White Noise Process)

[시계열분석] 백색잡음과정(White Noise Process)

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서 정상 시계열의 대표적인 예인 백색잡음과정에 대해 다루었다면,

이번 포스팅에서는 비정상 시계열의 예인 확률보행과정(Random Walk Process)에 대해 다뤄보겠습니다.

 

 

 

확률보행과정(Random Walk Process)

확률보행과정(Random Walk Process)이란 ε ~ WN(0, σ^2) 일 때 위와 같이 정의되는 확률과정을 의미합니다.

크게 절편(Drift)이 있는 경우와 그렇지 않은 경우로 나눠볼 수 있는데요.

왜 '확률보행'이라는 이름이 붙었는지 한번 보시죠.

 

이 백색잡음과정을 따르는 ε_t 을 시점 t에서 어떤 사람이 임의의 방향으로 움직이는 보폭으로 한번 정의해보죠.

 

말 그대로 랜덤(Random)한 값입니다.

가만히 서있는 사람이 다음 발걸음을 어느 방향으로 내딛긴 할텐데, 정확히 어디로 내딛을지 모르는 상황입니다.

다만 현재 서있는 지점을 원점(0)이라고 할 때, 우측으로 간다면 양(+)의 값을 갖고 좌측으로 간다면 음(-)의 값을 갖는다고 방향에 따른 부호만 정의해보죠.

만약 X-Y 좌표축에 표시할 경우 위로 가면 양(+), 아래로 가면 음(-)이 되겠죠?

 

처음 원점을 0이라고 할 때, t =1, 2, ... 에 따라 전개해보면 위와 같습니다.

결국 t 시점의 자료값 Z_t 는 t개의 ε을 다 더한 것과 같죠.

즉 랜덤워크에서 Z_t 는 't-시간 후의 위치'를 의미합니다.

 

사람 한 명이 막 랜덤하게 걷다보면 어디로 갈까 ~ 뭐 이런 의미죠.

매시점마다 ε는 발걸음을 의미하고, 그 발걸음이 모이다보면 어느 위치에 도달하게 되잖아요? 그게 Z_t가 됩니다.

 

 

아무튼 이 확률보행과정, 임의보행과정 혹은 랜덤워크라고 불리는 이 확률과정은 Covariance Stationarity를 만족하는 시계열일까요?

Covariance Stationarity 는 기댓값과 분산이 t와 무관한 상수이고, 공분산은 시점 t가 아닌 시차 k에 관한 함수여야 한다고 했죠.

2021.07.04 - [Statistics/Time Series Analysis] - [시계열분석] 정상성(Stationarity)

[시계열분석] 정상성(Stationarity)

 

한번 기댓값부터 따져보겠습니다.

 

먼저 기댓값은 0이 되므로 시간 t와 무관합니다.

 

그러나 분산, 공분산 모두 시간 t의 함수입니다.

그러므로 정상 시계열이라고 할 수 없습니다. 비정상(NonStationary)시계열이죠.

 

그려보면 이렇게 생겼습니다.

 

 

다음은 절편(Drift)이 있는 랜덤워크에 대해 다뤄보죠.

달라진 건 상수항이 추가됐다는 것입니다.

전개해보면 상수항에 시간 t가 곱해진 꼴이 추가가 된 것을 알 수 있습니다.

 

마찬가지로 기댓값, 분산이 시간 t의 함수이므로 Covariance Stationarity의 정의를 만족할 수 없습니다.

 

절편이 없는 랜덤워크와 다른 점은 Trend가 존재합니다.

시간의 흐름에 따라 증가하는 형태임을 알 수 있습니다.

 

다음 포스팅은 시계열자료의 특성을 나타내는 중요한 지표 중 하나인 자기상관함수에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

 

 

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- 간토끼(DataLabbit)

- University of Seoul

- Economics & Data Science