[시계열분석] 정상성(Stationarity)

Review

참고 포스팅 :

2021.02.02 - [Statistics/Time Series Analysis] - [시계열분석] 확률과정(Stochastic Process)

[시계열분석] 확률과정(Stochastic Process)

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

이번 포스팅은 확률과정에 이어서 시계열모형이 갖추어야 할 필수적인 조건 중 하나인 정상성(Stationarity)에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

먼저 지난 포스팅에서 다루었던 확률과정(Stochastic Process)은 확률법칙에 의해 생성되는 일련의 통계적인 현상이라고 정의했었죠.

즉 확률공간에서 정의되는 확률변수들의 모임! 이라고 정의를 구체화했었습니다.

 

그러므로 우리가 일반적으로 다루는 시계열 자료는 이 특정한 확률과정으로부터 실현된 값이라고 할 수 있습니다.

그러면 이 시계열 자료를 실현시킨 확률과정의 모형인 시계열 모형은 과연 어떻게 생겼을까에 대한 의문이 생기겠죠.

왜냐하면 특정 값이 제시됐을 때, 이 값을 만들어내는 함수가 어떻게 생긴지 궁금해하는 것은 당연하잖아요?

 

 

이때 특정 값만 주어졌을 때 이 값들을 만들어내는 함수, 즉 모형은 무수히 많을 것입니다.

그중 우리는 특정한 함수를 선택해야겠죠. 뭐 그 기준은 여러가지가 있겠지만, 아무래도 우리가 다루기 쉬운 함수를 선택하는 게 합리적인 선택일 겁니다.

이때 시계열 분석에서는 이들 중 어떤 특정한 성질을 가진 일부분만을 고려하자는 취지에서 나온 개념이 바로 정상성(Stationarity)입니다.

 

이 정상성을 갖는 시계열, 즉 정상 시계열은 뚜렷한 추세가 관측되지 않고 진폭(변동)이 시간의 흐름에 따라 일정합니다.

그래서 다른 의미로 정상성을 안정성이라고 부르기도 합니다.

 

정상성(Stationarity)의 정의는 시계열의 확률적인 성질들이 시간의 흐름에 따라 불변한다는 것입니다.

시계열 분석의 목표는 현재까지 주어진 값을 기반으로 미래의 값을 예측하는 데 있죠.

그러므로 지금까지의 성질이 미래에도 변하지 않아야만 우리의 목표를 잘 달성할 수 있을 것입니다.

그렇기 때문에 정상성이 중요한 성질로 꼽히는 것이죠.

 

만약 정상적이지 않은 시계열, 즉 추세변동이나 계절변동 등의 비정상 시계열의 경우는 이러한 요소들을 제거함으로써 정상시계열로 변환해 주어야 할 필요성이 있습니다.

아무튼 정상성은 크게 엄격한 의미의 정상성, 강정상성(Strict Stationarity)와 약한 의미의 정상성(Weak Stationarity)로 구분될 수 있습니다.

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(사실 이전에 계량경제학 Econometrics 카테고리에서 다루었었지만, 시계열분석 카테고리만 보시는 분들을 위해 재작성합니다 ^^;)

2021.04.18 - [Statistics/Econometrics] - [계량경제학] Stationary와 Non Stationary

[계량경제학] Stationary와 Non Stationary

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1. 강정상성(Strict Stationarity)

임의의 자연수 t1, t2, ..., tn과 자연수 k에 대하여 n개의 확률변수에 대한 결합확률밀도함수와, 이 n개의 확률변수에서 k만큼의 시간 축을 이동하였을 때의 결합확률밀도함수가 동일하다면, 이 시계열은 강정상성(Strict Stationarity)를 갖는다고 합니다.

즉 결합확률밀도함수에 대한 개념이므로 이는 분포에 대한 조건입니다.

따라서 어떤 확률과정이 강정상성 조건을 만족한다면 모든 n에 대하여 결합확률밀도함수가 시간대를 바꾸어도 동일하다는 것을 보여야 하므로, 어떠한 시간대이든 분포가 항상 동일해야 한다는 것이죠.

 

듣기만 해도 매우 복잡해보이고, 성립하기 어려워 보이죠?이론 상의 개념이라고 이해하시면 됩니다.

 

 

2. 약정상성(Weak Stationarity)

 

그래서 우리는 완화된 조건을 사용합니다.

만약 확률과정이 유한한 2차 적률(Finite Second Moment)을 갖고, 기댓값과 분산이 시점 t와 무관하게 항상 일정하며 자기공분산이 시점 t가 아닌 시차 k에 의존한다면 이를 약한 의미의 정상성을 갖는다고 합니다.

 

이 약정상성은 다른 의미로 Covariance Stationarity 라고도 합니다.

 

따라서 앞으로는 정상성을 언급하면 강정상성이 아닌 약정상성이라고 이해하시면 됩니다.

다음 포스팅에서는 대표적인 정상 확률과정인 백색잡음과정(White Noise Process)에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

 

 

 

감사합니다.

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- 간토끼(DataLabbit)

- University of Seoul

- Economics & Data Science