[행렬대수학] 행렬 대수(Matrix Algebra)

안녕하십니까, 간토끼입니다.

 

지난 포스팅에서는 선형 시스템(Linear System) 하에서 방정식의 해를 구할 수 있는 방법인 가우스 소거법, 가우스 조던 소거법에 대해서 다루었습니다.

 

이번에는 행렬을 좀 더 다뤄보기 위해 행렬 대수의 개념에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.

 

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우리가 일반적으로 덧셈, 곱셈 등 연산을 정의하고 사용하는 것처럼 행렬에도 다음과 같은 기본 연산(Basic Operation)을 적용할 수 있습니다.

 

1. 행렬의 덧셈(Matirx Addition)

이때 행렬의 덧셈 연산은 더하려는 행렬 간 차원이 서로 같아야 합니다.

즉 위의 예제를 보면, 두 행렬 모두 2x2 Matrix죠?

만약 앞의 행렬(A)은 2x3인데 뒤의 행렬(B)은 2x2라면 연산이 불가능합니다.

 

왜냐하면 행렬의 덧셈 결과를 보면 우항의 행렬의 (1,1) 성분이 4인데,

이는 행렬 A의 (1,1) 성분인 3과 B행렬의 (1,1) 성분인 1이 더해진 값이기 때문입니다.

 

즉 각각의 성분이 합해져서 성분이 구해지므로, 차원이 같아야 한다는 것을 기억해주세요.

덧셈 자체는 어려운 개념이 아니니까 패스하죠.

 

2. 행렬의 상수곱(Scala Multiplication)

상수는 다른 말로 스칼라(Scalar)라고도 하죠?

보통은 상수라는 말도 쓰지만, 벡터와 같이 쓰일 때는 좀 더 명확히 구분하고자 스칼라란 용어를 사용하니 개념에 익숙하지 않으신 분들은 숙지하시기 바랍니다.

 

스칼라 곱도 마찬가지로 각각의 성분에다만 곱해주면 되므로 어려운 개념은 없어보입니다.

 

 

3. 행렬의 곱(Matrix Multiplication)

행렬의 곱은 약간 어려울 수 있습니다. 어렵다기보단 헷갈릴 수 있어요.

다음과 같이 임의의 k x m 행렬 A와 m x n 행렬 B를 정의하겠습니다.

이때 행렬 C를 A와 B의 곱으로 다음과 같이 C = AB 로 정의하면, 행렬 C는 k x n 차원의 행렬로 도출됩니다.

무슨 소리인지 모르실 수도 있을 것 같아 쉬운 예를 들어보죠.

 

다음과 같이 행렬 A는 2x2 행렬, 그리고 행렬 B는 2x3 행렬이라고 가정하면, 이 둘 간의 행렬곱은 다음과 같습니다.

행렬 곱의 핵심은, 앞의 행렬 A의 열벡터의 수(여기서는 2차원)와 뒤의 행렬 B의 행벡터(2차원)의 수가 같아야 정의할 수 있습니다.

 

그래서 최종적으로는 A 행렬의 행차원과 B행렬의 열차원으로 이루어진 행렬 C가 도출되는 것이죠.

 

 이렇게 간단한 건 그냥 구하면 되는데 행렬이 커지게 되면 그에 따른 연산량도 부담이 됩니다.

손으로 구하는 건 당연히 말도 안 되고요.

 

그래서 이후 다루겠지만 복잡한 행렬의 연산을 쉽게 하기 위해 행렬을 분해하는 과정을 거치기도 합니다.

보통은 컴퓨터를 이용한 수치 연산 과정에서 그러한 방법을 많이 사용한다고 합니다.

 

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그리고 행렬에도 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립됩니다.

단 성립하기 위해서는 위에서 강조했던 행렬 대수에 따른 행렬의 차원이 적절히 맞아야 합니다.

덧셈 연산을 하기 위해서는 행렬의 차원이 같아야 할 것이고,

곱셈 연산을 하기 위해서는 곱해지는 행렬 간 행차원과 열차원이 같아야 하겠죠?

 

그 부분만 잘 신경쓰시면 될 것 같습니다.

 

 

이때 헷갈릴 만한 것 중 하나가 행렬 곱의 교환법칙은 성립하지 않는다는 것입니다.

 

즉 일반적으로 행렬곱 AB와 BA는 같지 않습니다.

 

일반적으로 같지 않은 것이기 때문에, 일반적인 쉬운 예를 한번 들어보죠.

다음과 같이 두 행렬의 차원이 같은 경우는 AB와 BA 모두 결과로써 도출된 행렬의 차원은 같습니다.

다만 행렬의 원소는 다음과 같이 차이가 있겠죠?

 

즉, 행과 열의 차원이 같은 Square Matrix 같은 경우는 이렇게 성분의 차이를 보면 되겠지만,

Square가 아닌 행렬은 차원 조차 뒤바뀌게 됩니다.

 

이렇게 A가 2x3 행렬이고, B가 3x2 행렬이면

AB의 결과인 C는 2x2 행렬이지만, BA의 결과인 D는 3x3 행렬입니다.

 

물론 그렇다고 항상 성립하는 건 아니고요.

두 행렬이 Identity Matrix면 행렬 곱의 교환법칙이 성립하겠고... 다른 행렬도 가능한 조합이 있겠죠?

 

아무튼 ... 그렇습니다.

 

다음 포스팅에서는 이 행렬의 곱을 '사상'으로서 좀 더 살펴보도록 하겠습니다.

 

 

감사합니다.

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