[계량경제학] Weakly Dependent

 

안녕하십니까, 간토끼입니다.

 
이번 포스팅은 지난 포스팅의 Stationarity 개념에 이어 시계열 회귀분석에서 중요한 개념인 Weakly Dependent에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

먼저 Cross Sectional Data에서의 특징을 한번 살펴보고 넘어가보죠.

우리가 횡단면 자료(Cross-sectional Data)에서는 회귀분석을 하기 위해 Random Sampling 가정을 하였습니다.

만약 random sampling 가정이 가능하다면 오차항의 i.i.d 가정(Independent Identically Distribution)을 적용할 수 있었죠.



하지만 시계열 자료에서는 조금 달랐습니다.

만약 우리가 가진 시계열 자료가 Strict Stationary 하다면 이 시계열 자료는 Identically Distribution을 따른다고 하였죠.

그러나 독립성 가정은 다소 어려운 가정이었습니다.

그 이유는 다음과 같았죠.

만약 주식 가격을 예로 든다면
어제의 주가는 오늘의 주가에, 그리고 오늘의 주가는 내일의 주가에 영향을 줌을 우리는 알고 있었습니다.

즉 independent 가 아닌 dependent한 특징을 갖고 있습니다.


이때 Weakly Dependent 가정은 시계열 회귀분석을 하기 위해서 독립성 가정의 대안이 될 수 있습니다.

실제로 지켜지기 어려운 독립성 가정 대신, 비슷하게나마 타협한 조건이라고 이해하시면 됩니다.

최선이 아닌 차선 정도죠.

Weakly Dependent란 위에서 보시는대로 시계열 변수 X_t 와 h-시차 후 변수 X_t+h 간의 상관관계가 h가 커질수록 0으로 수렴하는 것을 의미합니다.

즉 단기에는 상관관계가 존재할 수 있죠.
인접한 관측치 간 연관성이 큰 시계열 자료의 특성상 어쩔 수가 없는 문제입니다.

그러나 시차가 커질수록 그러한 관계가 옅어진다면 점근적인 추정량의 성질 정도는 정의할 수 있게 됩니다.

그래서 weakly dependent 가정이 시계열 회귀분석에서 중요한 가정입니다.

 

 

 

한번 예전에 다루었던 상관관계와 독립성 사이의 관계를 다시 살펴보죠.

만약 두 변수가 서로 독립이라면, 이 두 변수의 상관계수(공분산)은 0이 됩니다.

하지만 역은? 성립하지 않죠.

그래서 Weakly dependent 가정은 상관계수가 0으로 수렴한다는 상관관계와 관련한 가정이기 때문에,

0으로 수렴한다고 해서 두 변수가 독립이라는 의미는 절대 아닙니다. 역은 성립하지 않으니깐요.

그러한 의미에서 독립은 아니지만 독립과 비슷(유사)한 약한 독립성 가정정도로 이해하시면 됩니다.




한번 예시를 통해 weakly dependent가 적용되는 stochastic process를 살펴보시죠.

MA(1) Process는 전형적인 Weakly dependent 를 만족하는 process 입니다.
1차 이동평균과정(Moving Average Process) 이라고 합니다.



MA(1)을 따르는 변수 X_t 는 t 시점의 백색잡음 과정을 따르는 e_t와 1-시차 전 변수 e_t-1 변수의 가중합으로 이루어져 있습니다.

이때 e_t는 백색잡음(White Noise)라고 해서 기댓값이 0이고, 분산이 sigma^2, 그리고 i.i.d인 변수입니다. 그냥 참고사항 정도로 알아두시죠. 추후 다루겠습니다.


이제 MA(1) 과정이 Weakly Stationary하고 Weakly Dependent 함을 보이도록 하겠습니다.

먼저 weakly stationary 함을 보이기 위해서는 3가지를 보여야했죠.

2021.04.18 - [Statistics/Econometrics] - [계량경제학] Stationary와 Non Stationary

[계량경제학] Stationary와 Non Stationary

기댓값과 분산이 상수(constant)로 정의돼야 하고, 공분산이 시점 t가 아닌 오직 두 변수 간 거리(시차)인 h에만 의존하여 정의돼야 한다고 했습니다.

그래서 위를 보면 기댓값과 분산이 상수로 정의됨을 알 수 있습니다.

또한 1-시차 떨어진 변수 간 공분산도 백색잡음과정의 계수 alpha와 분산값 sigma^2 의 곱으로 정의되어 상수임을 알 수 있습니다.

그리고 2-시차 이상부터는 공분산이 0이 됩니다.

즉 공분산이 시점 t가 아니라 시차 h에 의존한다는 것이죠.


따라서 weak stationary 함을 보이기 위한 조건은 만족함을 알 수 있습니다.

그리고 공분산이 2-시차 이후부터는 0이 되죠?

점근적....으로는 아니지만 어쨌든 h가 커질수록 공분산은 0으로 수렴한다는 weakly dependent 조건은 충분히 만족하니 weakly dependent 함을 알 수 있습니다.

이 조건이 왜 중요한지는 추후 다루도록 하겠습니다.


다음 포스팅에서는 잠깐 다루었던 MA모형과 비슷한 내용인 AR모형에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

사실 [시계열분석] 카테고리에서 깊게 다룰 예정이긴 했지만 이후 포스팅의 유연한 설명을 위해서는 간단하게나마 다루고 넘어가는 게 나을 것 같아서요.




감사합니다.

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