[계량경제학] 시계열 회귀분석의 고전적 가정(1)

Review

참고 포스팅 :

2020.12.18 - [Statistics/Econometrics] - [계량경제학] 시계열 회귀분석(Time Series Regression)의 개념

[계량경제학] 시계열 회귀분석(Time Series Regression)의 개념

 

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

이번 포스팅에서는 시계열 회귀분석의 고전적 가정에 대해서 다뤄보겠습니다.
그중 OLS추정량의 불편성을 보이기 위한 조건을 중점적으로 다뤄보도록 하겠습니다.

 

 

 

지난 포스팅에서는시계열 회귀분석의 개념을 다뤄보았죠.
보통 우리가 회귀분석을 한다고 하면 횡단면 자료(Cross-section Data)를 이용한 분석을 의미했는데, 이제는 시계열 자료를 이용하므로 데이터가 Stationary 함을 보여야 한다고 했습니다.

이때 Stationary하다면 기존에 하던 것처럼 OLS하면 된다고 했습니다.

 

간단하게 Stationary한 데이터가 어떤 모습을 보이는지만 다시 한번 살펴보죠.

대충 이러한 모습입니다.

이 정상성(Stationarity)의 자세한 개념은 추후 포스팅을 통해 다루도록 할테니, 대충 이렇구나 정도의 감만 잡고 넘어가시면 됩니다.

 

자, 그럼 시계열 회귀분석의 OLS추정량이 불편성을 만족하기 위한 가정을 살펴보겠습니다.

 

 

 

TS.1 Linear in Parameters

크게 어려운 가정은 아닙니다.
일반적으로 다뤘던 것처럼 반응변수 y 에 대하여 설명변수 x들이 회귀계수와 선형결합 형태로 나타내면 됩니다.

 

 

 

TS.2 No Perfect Collinearity

이것도 중요한 가정이죠.
우리가 세운 모형에 완전공선성(Perfect Collinearity)이 나타나면 안 됩니다.
그 이유는 잘 아실 거라 생각하지만, 완전공선성이 나타나면 모형 자체가 불안하게 되죠.

 

아무튼 어떠한 설명변수도 상수(constant) 형태가 되면 안 되고, 설명변수 간 Linear combination으로 표현되는 Linear dependent이 되면 안 되겠습니다.

 

 

TS.3 Zero Conditional Mean : E(u_t | X ) = 0

t시점에서의 오차항(Error Term) u_t는 모든 시점에서의 설명변수들과 무관해야 합니다.
즉 오차항의 조건부 기댓값이 0이 돼야 합니다.

여기서 모든 시점이라는 것은 1, 2, ..., t-1, t, t+1, .... 을 의미합니다.
그러므로 오차항과 설명변수 간 공분산이 0이 돼야 합니다.
Cov(u_t, X) = 0 라고 할 수 있겠네요.

 

이러한 가정을 Strict Exogeneity 라고 합니다.우리말로 번역하면 강외생성 정도 되려나요?

 

하지만 실질적으로 이 가정은 너무나 강한 가정입니다.
예를 들어 y 변수가 우리나라의 실업률이라고 가정하고, 설명변수 x를 최저임금이라고 가정해보죠.

 

만약 불편성을 보이기 위해서라면 과거의 최저임금은 현재의 실업률에 영향을 주어서는 안 되지만, 실질적으로 최저임금이 상승했다고 해서 바로 고용을 줄이지는 않죠.
이전의 상승 혹은 하락 또한 현재의 고용률에 영향을 줄 것입니다. 각각 고용주마다 이전부터 지속된 상승에 피로감을 느껴 현재 시점에서 해고를 시도할 수도 있고, 누구는 직전 시점의 상승에, 다른 누구는 현재 시점의 급격한 상승에 고용을 줄일 수도 있고요.

그러한 의미에서 과거의 사건이 현재에 영향을 전혀 주지 않는다는 것은 시계열 자료에서는 다소 납득이 되지 않는 가정일 것입니다.

 

따라서 이런 강한 가정이 아닌 다소 약한 가정 또한 존재합니다.

바로 같은 t시점에 대해서만 외생적임을 보이면 되는 Contemporaneus Exogeneity 가정입니다.

 

사실 이 가정만 만족해도 OLS추정량의 Consistency를 보일 수 있습니다.

그러나 불편성(Unbiasness)을 보이기 위해서는 Strict Exogeneity 가정을 만족해야 합니다.

 

 

정리하면 위 세 가정 TS.1, TS.2, TS.3을 만족할 때 OLS추정량은 불편추정량이 됩니다.

추후 다루겠지만 사실 시계열 회귀분석에서 불편성을 보이는 것은 큰 의미가 없을 수 있습니다.
불편추정량이 되면 좋겠지만 Strict Exogeneity를 만족하기엔 다소 무리가 있거든요.

 

다음 포스팅에서는 이 고전적 가정에 대해서 좀 더 다뤄보도록 하겠습니다.

 

 

감사합니다.

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- 간토끼(DataLabbit)

- University of Seoul

- Economics & Data Science