[계량경제학] 시계열 회귀분석의 고전적 가정(2)

Review

참고 포스팅 :

2021.04.10 - [Statistics/Econometrics] - [계량경제학] 시계열 회귀분석의 고전적 가정(1)

[계량경제학] 시계열 회귀분석의 고전적 가정(1)

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서는 시계열 회귀분석의 OLS추정량이 불편추정량이 되기 위한 몇 가지 고전적 가정에 대해 살펴보았습니다.

이번 포스팅에서는 이 고전적 가정을 좀 더 다뤄보도록 하겠습니다.

 

지난 포스팅을 가볍게 살펴보고 넘어가보죠.

불편추정량이 되기 위한 고전적 가정은 크게 3가지가 있었습니다.

선형결합으로 식이 이루어져야 하고,
설명변수 간 완전공선성이 나타나지 않아야 하며,
오차항 u_t 와 모든 시점의 설명변수 간 무관해야 한다는 Strict Exogeneity 가정이었죠.

이제 이 고전적 가정을 좀 더 다뤄보겠습니다.





TS.4 Homoskedasticity

4번째 가정은 Homoskedasticity, 등분산성 가정입니다.

회귀모형의 오차항의 분산은 설명변수 X 값에 따라 변하지 않고 항상 상수 형태로 나타나야 한다는 것이죠.

만약 그렇지 않다면 이분산이 존재한다고 합니다.

사실 추후 다루겠지만 시계열 회귀분석에서 이분산은 굉장히 빈번한 케이스인데요.

아무튼 추후 포스팅에서 완화된 가정 등을 통해 다뤄보도록 하죠.




TS.5 No Serial Correlation

5번째 가정은 오차항 간 자기상관이 존재하지 않는 것입니다.

자기상관은 Serial Correlation이라고도 하고, Auto Correlation 이라고도 합니다.

자기상관의 뜻은 서로 다른 시차의 오차항 간 상관관계가 존재하는 것을 의미합니다.

사실 이 가정 또한 시계열 회귀분석에서 굉장히 어려운 가정 중 하나입니다.

음 ... 예를 한번 들어보죠.

주식 가격을 예로 들어보겠습니다.
어제의 주식 가격과 오늘의 주식 가격은 관련이 없을 수 있을까요?
만약 어제 A회사의 주가가 3900원이었다면, 오늘은 4000원, 혹은 3800 등 3900 언저리가 되겠죠. 막 182원, 58723원 등 맥락없는 가격이 형성되진 않을 것입니다.

이러한 의미에서 시계열 자료에서는 자기상관이 빈번하게 나타납니다. 그래서 추후 다룰 포스팅에서는 완화된 가정을 다룰 예정입니다.

대충 위 식을 전개해보면 이와 같습니다.


그래서 우리는 지금까지의 가정을 Time Series 데이터에서의 Gauss-Markov Assumptions 이라고 할 수 있습니다.

일반적인 횡단면 자료를 이용한 회귀분석에서 다루었던 가정과 맥락면에서는 유사함을 눈치 채셨을 겁니다.

위 가정 하에서는 OLS추정량의 조건부 분산을 다음과 같이 정의할 수도 있겠죠.

그래서 마찬가지로 가우스-마코프 가정 하에서는 다음이 성립합니다.

가장 큰 특징은 OLS추정량이 BLUE라는 것이죠.


여기에 나아가서 한 가지 가정을 더 논의해봅시다.

TS.6 Normality

오차항이 설명변수와 독립이고, 거기에 오차항은 정규분포를 따른다는 가정입니다.

정규성 가정이죠.


이 6가지 가정이 성립하면 다음과 같이 CLM(Classical Linear Model) 가정이 성립한다고 합니다.

이때 OLS추정량들은 정규분포를 따르고요.
t-통계량이든 F-통계량이든 사용하는 데 있어 전혀 문제가 없습니다.

그러나 현실적으로 이 6가지 가정이 모두 성립할 일은 없습니다.

그냥 이론적인 가정 정도로만 알아두시고,
추후 포스팅에서는 보다 현실적인 가정을 다뤄보도록 하겠습니다.

감사합니다.

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- 간토끼(DataLabbit)

- University of Seoul

- Economics & Data Science