[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 2 - 행렬식의 유용한 성질과 수반행렬(Adjoint)

Review

참고 포스팅 : 

2020.09.05 - [Statistics/Matrix Algebra] - [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

[행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

선형대수학을 다루다가 타이밍을 놓쳐서 다시 다룰 생각이 사실 없었는데, 블로그 유입 트렌드를 보니 생각보다 몇 안 되는 포스팅들이 인기가 많더라고요. 

요즘 다시 공부하고 있기도 하고 ... 인기를 이어가고자(?) 약 3년 만에 다시 시리즈를 이어가보겠습니다.

 

지난 포스팅에서는 행렬식의 개념에 대해서 다뤘습니다. 행렬식을 전개하는 방법을 주로 강조했었는데요.

이번 포스팅에서는 행렬식의 유용한 성질, 그리고 차후 포스팅을 위해 필요한 개념인 수반행렬(Adjoint)에 대해 다뤄보겠습니다.

 

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1. 행렬식의 유용한 성질

먼저 행렬식을 다시 살펴보죠.

행렬식(Determinant)은 다음과 같이 쓸 수 있었습니다.

$$ det\,(A) = | \, A \, | = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det\,(A_{ij}) $$

위에서는 특정 i번째 행을 고정했지만, 행이 아닌 특정 열(column)을 고정해도 무방합니다.

 

이러한 행렬식은 square matrix에서만 정의할 수 있고,

matrix를 특정한 방법으로 하나의 수를 대응시키는 일종의 함수라고 말씀드렸었습니다.

 

그러면 이러한 행렬식의 몇 가지 성질들을 살펴보면서 행렬식을 좀 더 이해해봅시다.

 

 

(1) 단위행렬(Identity Matrix)의 행렬식은 항상 1이다.

임의의 n차원의 identity matrix의 행렬식은 항상 1입니다.

간단한 예시를 통해 이해해보죠.

$$ Let \,\, I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

 

우리는 지난 포스팅을 통해 2차원 행렬의 경우 '행렬식은 대각원소의 곱끼리의 차'임을 알고 있습니다.

그러므로 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 1 - 0 = 1$ 이 되겠죠.

 

직관적인 이해를 돕기 위해 2차원 행렬을 가정했으나, 차원의 수를 확장하여도 결과는 같습니다.

 

 

(2) 행렬 $A$와 전치행렬 $A^{T}$ 의 행렬식은 같다.

행렬식이 정의되는 square matrix라면, transposed한 행렬과 행렬식이 같습니다.

즉 $ |\,A \,| = | \, A^{T} \, |$ 가 성립합니다.

위 전개 과정을 보시면 직관적으로 이해가 되실 겁니다.

 

 

(3) 행렬 $A$ 의 임의의 두 행 혹은 열을 서로 교환하여 얻어진 행렬 $B$ 의 행렬식 $|\, B \, |$ 은 $- |\, A\, |$ 이다.

행교환, 혹은 열교환을 통해 얻어진 행렬 $B$ 를 가정하면,

이 행렬의 행렬식은 기존 행렬의 행렬식에 -(음의 부호) 를 붙인 것과 같습니다.

 

위 예시에서는 행렬 $A$ 의 2행과 3행을 서로 교환하여 행렬 $B$ 를 정의하였습니다.

 

 

(4) 행렬 $A$ 의 임의의 행 혹은 열에 상수 $t$ 배를 한 행렬 $C$ 의 행렬식 $| \, C \, |$ = $ t \,| \, A \, |$

 

이번엔 임의의 행 혹은 열에 상수 $t$ 를 곱한 행렬 $C$ 를 가정해봅시다.

그러면 이 행렬의 행렬식은 기존 행렬의 행렬식에 $t$ 를 곱한 것과 같습니다.

 

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이번엔 행렬식의 성질을 좀 더 확장해보겠습니다.

바로 '다중선형성(Multilinearity)'이라는 성질인데요.

다중선형성은 크게 가산성(Additivity) or 선형성(Linearity), 그리고 동차성(Homogeneity), 교대성(Alternating Property)로 구분해볼 수 있습니다.

 

하나씩 살펴보죠.

 

(1) 동차성(Homogeneity)

 

동차성은 직전에 다루었던 개념인데요.

행렬의 한 행, 혹은 열에 상수(scalar)를 곱한 경우, 행렬식은 그 스칼라를 곱한 값과 같아집니다.

$$ det\,(t \, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) = t \, det\,(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}) $$

 

그리고 이걸 좀 더 다르게 생각해서 행렬 전체에 동일한 스칼라를 곱한 경우는 어떻게 될까요?

즉 $t\,A$ 의 행렬식에 대해서도 생각해볼 수 있겠죠.

답은 행렬의 차원, 즉 $n$ 만큼 제곱한 $t^{n}$ 값을 행렬식에 곱해주면 됩니다.

$$ det \, (t\,A) = det \, (t \, a_{1}, t\, a_{2}, \cdots , t\,a_{n}) = t^{n} \, det\, (A) $$

 

왜냐하면 한 행에 scalar를 곱했을 땐 1번만 곱해줬는데,

이걸 n개의 행, 혹은 열에 곱해주는 거니 scalar를 n번 곱해주는 것과 같기 때문이죠!

 

 

(2) 가산성(Additivity) or 선형성(Linearity)

이번엔 이러한 경우를 생각해봅시다.

행렬의 특정 행, 혹은 열이 두 벡터의 합으로 표현되는 경우죠.

 

위 예시에서는 1열이 두 벡터의 합으로 표현됩니다.

$$ \begin{bmatrix} 1+3 \\ 3+2 \\ 1+1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} $$

 

그러므로 이 행렬의 행렬식은 두 행렬의 행렬식의 합으로 표현될 수 있습니다.

바로 두 벡터로 쪼개지는 행을 제외하고 나머지 행은 동일한 행을 갖고 있으며, 1행에만 각 벡터를 대입하여 얻은 행렬의 행렬식의 합과 같다는 거죠.

위 그림을 보면 직관적으로 이해가 되실 거라 생각합니다.

 

 

(3) 교대성(Alternating Property)

교대성은 위에서 다룬 개념입니다.

바로 행렬 $A$ 의 임의의 두 행 혹은 열을 서로 교환하여 얻어진 행렬 $B$ 의 행렬식 $|\, B \, |$ 은 $- |\, A\, |$ 라는 성질이죠.

넘어가겠습니다.

 

(4) 곱셉성(Multiplicativity)

다중선형성과는 조금 다른 성질이지만, 종종 함께 언급되는 성질입니다.

두 행렬 $A$, $B$ 의 곱의 행렬식은 각각의 행렬식의 곱과 같다는 것입니다.

 

 

그렇다면 이런 선형적인 케이스도 생각해볼 수 있지 않을까요?

바로 $det \, (A + B)$ 와 $det\,(A) + det\, (B)$ 가 같을까에 대한 질문인데요.

정답은 '안 된다' 입니다. ㅜㅜ

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직관적으로 이해하기 위해 2차원 행렬을 가정해봅시다.

$$ Let \,\, A = (a_{1}, a_{2}) , B = (b_{1}, b_{2}) $$

 

그러면 이 두 행렬의 합의 행렬식을 정의하고, 전개하면 다음과 같습니다.

 

$$ det\,(A + B) = det\,(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}) = \cdots = |\,A\,| + |\, B \,| + det\,(b_{1}, a_{2}) + det\,(a_{1}, b_{2}) $$

전개 과정에서 (2) 선형성의 성질을 사용했습니다.

즉 $det\,(A+B)$ 에서는 $det\,(b_{1}, a_{2}) + det\,(a_{1}, b_{2})$ 의 항이 발생하므로 같지 않습니다.

 

 

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이번엔 특이한 행렬을 잠시 소개해보겠습니다.

바로 삼각행렬(Triangular Matrix) 입니다.

삼각행렬은 크게 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)과 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix)로 구분할 수 있는데요.

이 삼각행렬은 보시다시피 삼각형의 부분을 제외한 나머지 부분이 0인 행렬입니다.

그러므로 삼각행렬의 행렬식은 행렬의 대각성분을 곱한 값이 됩니다.

 

위 하삼각행렬의 예시인 $B$ 를 한번 행렬식의 전개 과정에 따라 전개해보겠습니다.

1행을 고정하고 전개해보았더니 동일하게 $4$ 가 도출됨을 알 수 있습니다.

지난 포스팅에서 행렬식을 전개할 때 0이 많은 행이나 열을 고정하면 계산이 유리함을 강조했었습니다.

 

그러한 의미에서 포스팅의 초반 부분에서 다룬 '단위행렬의 행렬식은 항상 1이다'의 개념은 위 삼각행렬의 성질과도 이어질 수 있습니다.

단위행렬 또한 삼각행렬의 케이스 중 하나이기 때문이죠.

물론 주대각성분이 1이고 나머지는 0이므로, 상삼각행렬이 될 수도 있고, 하삼각행렬이 될 수도 있죠.

 

좀 더 개념을 확장하면 이렇게 주대각성분을 제외한 나머지 원소가 0인 행렬을 대각행렬(Diagonal Matrix)라고 합니다.

그리고 모든 대각행렬은 삼각행렬의 특별한 경우이고, 단위행렬은 이러한 대각행렬의 한 예입니다.

 

 

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2. 수반 행렬(Adjoint)

이번엔 새로운 개념을 소개해보겠습니다.

바로 수반 행렬, adjoint라고 불리는 행렬인데요.  수반 행렬은 다소 생소하니 ... 그냥 앞으로 adjoint라고 하겠습니다.

행렬 A의 adjoint는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

바로 여인수(cofactor)로 이루어진 행렬을 전치시킨 행렬인데요.

위에서 보시는 것처럼 각 cofactor를 transpose 시킨 꼴임을 이해하실 수 있겠죠.

 

행렬 $A$ 를 2차원 행렬이라고 가정합시다.

$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$

그러면 행렬의 cofactor는 $c_{11} = a_{22}, c_{21} = - a_{12}, c_{12} = - a_{21}, c_{22} = a_{11} $ 라고 할 수 있겠죠.

 

adjoint는 이 cofactor로 이루어진 행렬을 transpose한 꼴이니까 다음과 같습니다. 

$$ adj(A) = \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} $$

 

이 adjoint는 행렬의 역행렬을 구하는 데 매우 유용하게 활용됩니다.

다음 포스팅에서는 역행렬에 대해 소개하고, 행렬식과 역행렬의 관계를 다뤄보도록 하겠습니다.

 

감사합니다.

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따라서 포스팅에 학문적 오류가 있을 수 있으며, 이를 감안해서 봐주시면 감사하겠습니다.

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- 간토끼(DataLabbit)

- B.A. in Economics, Data Science at University of Seoul