[수리통계학] 확률집합함수(Probability Set Function)

Review

참고 포스팅 :

2023.07.04 - [Statistics/Mathematical Statistics] - [수리통계학] 집합 이론과 시그마 필드(Set Theory and Sigma-Field)

[수리통계학] 집합 이론과 시그마 필드(Set Theory and Sigma-Field)

# 해당 포스팅은 KOCW 김충락 교수님의 수리통계학 강의와 Hogg의 수리통계학개론(Introduction to Mathematical Statistics)를 기초로 작성되었습니다.

 

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안녕하십니까, 간토끼입니다.

지난 포스팅에서는 '확률'이라는 개념을 적용하기 위해 필요한 개념인 시그마 필드(sigma field)에 대해 다뤘습니다.

이번 포스팅에서는 표본공간 $C$ , 사건의 모임인 Sigma field에 이어 확률공간의 마지막 요소인 확률, 다른 말로 확률집합함수(Probability Set Function)에 대해 다뤄보겠습니다.

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먼저 '함수'에 대해 생각해보겠습니다.

우리가 지금까지 함수라는 개념을 다뤘을 땐 주로 정의역과 공역이 모두 실수인 형태를 다뤄보셨을 겁니다.

그렇다면 정의역이 집합인 경우엔 함수의 형태가 어떻게 될까요?

크게 달라질 것 없이 notation만 좀 변경된 형태입니다.

정의역이 집합 C이고, 공역이 실수인 함수를 집합함수(Set function)라고 합니다.

 

종종 집합함수는 합이나 적분으로 정의됩니다.

만약 정해진 1차원의 집합 C에서 적분한 형태를 집합함수로 정의한다면 위와 같이 쓸 수 있겠습니다.

마찬가지로 집합이 1차원이 아닌 n차원이라면 중적분의 개념을 이용해 적분을 확장할 수 있겠죠.

 

합으로 나타낸다면 위와 같이 summation 기호를 이용해 나타낼 수 있습니다.

 

예시를 한번 보도록 하겠습니다.

Sample space $C$ 를 양의 실수의 구간이라 하고, 이때 $A$ 라는 집합은 $C$ 의 부분집합이라고 가정하겠습니다.

적분값이 존재한다는 가정하에 집합함수 $Q(A)$ 를 $ f(x) = e^{-x}$의 집합 $A$ 에서의 적분값으로 정의해보죠.

$$ Let \,\, Q(A) = \int_{A}^{\,} e^{-x} \, dx $$

 

이때 $ A = (1,3) \cup (3,5) $ 라면 집합함수 $Q(A)$ 는 1부터 5까지의 실수의 구간 $ [1, 5] $ 을 적분한 값으로 구할 수 있습니다.

$$ Q(A) = \int_{1}^{5} e^{-x} \, dx = - e^{-5} + e^{-1} \, \approx  \, 0.361 $$

 

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자 그러면 확률집합함수를 정의해보죠.

표본공간 $C$ 가 있고, Sigma field인 $B$ 가 있으므로 우리는 확률공간의 3번째 요소인 확률집합함수를 정의할 수 있습니다.

Sample Space $C$ 가 정의되고, $C$ 의 sigma field인 $B$ 가 정의됐을 때, $B$ 상의 정의된 실함수를 $P$ 라고 합시다.

이때 실함수 $P$ 가 위 3가지 조건을 만족한다면 Probability Set Function이라고 할 수 있습니다.

 

(1) Non-negativity

Sample Space 상의 임의의 부분집합 $c$ 에 대하여 $P(c)$ 가 항상 0보다 커야 합니다.

$$ P(c) > 0 \,\, \forall \,\, c \subset C $$

직관적으로 생각했을 때 확률의 값이 0이라면 발생할 가능성이 없다고 이해할 수 있으나,

음수라면 ... 발생하지 않지 않는다? 뭔가 이상하죠? 이를 Non-negativity 라고 합니다.

 

(2) Normality

확률의 총합은 1입니다. 즉 Sample Space에 대한 실함수의 값은 항상 1이 돼야 합니다.

$$ P(C) = 1 , \,\, where\,\, C \,\, :\,\, Sample \,\, Space $$

 

만약 확률의 총합이 3.14처럼 1이 아닌 임의의 값이 된다면 해석하기 모호한 부분이 있을 겁니다.

확률의 scale을 0부터 1의 구간으로 정한다고 이해하시면 좋을 것 같습니다.

 

(3) Countable Additivity

만약 서로 배타적인(Mutually exclusive) 부분집합 $c_{i} \,, \,(i = 1,2,3, ...)$ 들이 sigma field 상의 부분집합일 때,

이 모임의 합집합인 Disjoint union의 함수값(확률값)은 각각의 부분집합에 대한 확률값을 모두 더한 값과 같습니다.

$$ Let \,\, c_{1}, c_{2}, \cdots \, \in B \,\, s.t. c_{m} \cap c_{n} = \varnothing \,\, \forall \,\, m \neq n $$

$$ Then \,\, P(\bigcup_{i=1}^{\infty} c_{i} ) = \sum_{i=1}^{\infty} P(c_{i}) $$

이를 Countable Additivity 성질이라고 합니다.

 

위 성질을 이용하면 다음과 같은 확률의 성질을 유도할 수 있겠죠.

sigma field 상의 정의된 임의의 집합 $A$ 에 대하여 $A$ 의 확률값은 1에서 $A$ 의 여사건의 확률값을 뺀 것과 같습니다.

$$ P(A) = 1 - P(A^{C}), \,\, \forall \,\, A \in B $$ 

간단하게 증명해보죠.

먼저 직관적으로 A와 A의 여사건의 합집합은 전체집합(Sample Space)입니다. 그리고 둘의 교집합은 공집합이죠.

그렇다면 2번째 성질인 normality에 의해 P(C)는 1임을 알 수 있고,

A와 A의 여사건은 3번째 성질인 Countable Additivity에 의해 덧셈 연산으로 나타낼 수 있습니다.

이를 통해 집합 A에 대하여 A의 확률값은 1에서 A의 여사건의 확률값을 뺀 것과 동일함을 보일 수 있습니다.

 

다음 포스팅에서는 이 확률의 성질을 좀 더 살펴보고,

이를 바탕으로 한 Inclusion-Exclusion Formular에 대해 다뤄보겠습니다.

 

감사합니다.

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* 본 블로그는 학부생이 운영하는 블로그입니다.

따라서 포스팅에 학문적 오류가 있을 수 있으며, 이를 감안해서 봐주시면 감사하겠습니다.

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- 간토끼(DataLabbit)

- B.A. in Economics, Data Science at University of Seoul