[서평] 제대로 배우는 수학적 최적화(우메타니 슌지 저.김모세 역/한빛미디어)

안녕하십니까, 간토끼입니다.

 

오늘은 한빛미디어의 <나는 리뷰어다 2021>의 일환으로 받은 제대로 배우는 수학적 최적화에 대한 서평을 작성해보도록 하겠습니다.

 

 

최적화(Optimization)는 들어보신 분도 있을 것이고, 그렇지 않은 분들도 계실텐데요.

제 블로그에 관심을 갖고 읽어보시는 분들이라면 알아야 할 주요 키워드입니다.

다만 최적화라는 키워드만 보았을 땐, 뜬금없지만 뭔가 약간 공정 과정이나 로봇? 등이 생각나는 어휘긴 합니다.

 

하지만 최적화는 기계학습(Machine Learning)이나 딥러닝을 공부하실 분들이 반드시 알아야 할!! 부분입니다.

 

간단하게 소개해보며 서평을 시작해보죠.

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Q. 이 책은 어떤 책인가요?

당연하게도 수학적 최적화에 대해 다루는 책입니다.

수학적 최적화는 주어진 제약조건 아래 목적 함숫값을 최소(또는 최대)로 만드는 최적화 문제를 이용하여 현실 사회에서 의사결정이나 문제 해결을 실현하는 수단을 말합니다.

특히 이 책에서는 이 수학적 최적화의 입문서로서 최적화에 관한 많은 문제와 알고리즘을 소개하고 있습니다.

제 블로그를 보신 분들이 친숙할만한 회귀 문제(Regression Problem)를 최적화의 예시로 들어볼게요.

 

n쌍의 데이터 (x_i, y_i) 가 주어졌을 때, x와 y의 관계를 근사적으로 나타내는 함수를 구하고자 했었죠.

예를 들어 두 변수의 관계를 직선 y = ax + b 로 나타낼 때, 이 기울기계수 a와 절편 b를 구하기 위해 최소제곱법을 이용하였습니다.

이때 n쌍의 데이터가 한 직선 위에 놓여져있지 않으므로, 각 데이터에 대한 오차를 가능한 작게 해야했죠.

그래서 평균제곱오차를 최소화하는 것으로 x와 y의 관계를 근사적으로 나타내는 함수를 구하였는데,

이러한 방법을 최소제곱법(Least Squares Methods)라고 하였습니다.

그리고 최소제곱법을 통해 도출된 회귀계수를 최소제곱추정량이라고 하였죠?

 

이게 최적화의 쉬운 예시입니다.

주어진 목적함수를 풀음으로써 주어진 조건 하에서 최적의 답을 도출해내는 것을 말하죠.

 

이 책은 다양한 최적화 기법을 소개하고 있습니다.

사실상 수학 이론서라고 봐도 무방할 정도로 심도 깊은 내용을 소개하고 있어서. 미적분학의 기본기가 없으신 분들은 읽기 어려우실 수 있습니다.

추가로 다변수 함수에서의 최적화는 자연스럽게 행렬과 벡터를 다루게 되므로, 선형대수학에 대한 이해도 필요해보이네요.

 

1장에서는 수학적 최적화의 입문을 위한 기초 개념을 소개합니다.

2장에서는 가장 기본적인 최적화 문제인 선형 계획 문제에 대해 다루고 있습니다.

3장에서는 비선형 계획 문제를 소개하고, 4장에서는 정수 계획 문제와 조합 최적화 문제를 소개하고 있습니다.

 

그렇다면 왜 머신러닝을 공부하려는 사람이 최적화를 알아야 할까요?

바로 머신러닝 또한 대규모 데이터로부터 도출된 복잡한 비용함수를 최소화하는 해(Solution)을 찾는 최적화의 문제이기 때문이죠.

머신러닝을 공부해보신 분들이라면 누구나 알고 계실 경사하강법이 그러한 예 중 하나입니다.

복잡한 비선형 함수를 직접 푸는 것보다, 근사하는 방법을 이용하여 최적에 가까운 답을 도출하는 비선형 계획법 중 하나이죠.

이처럼 최적화는 우리의 일상 속에서 만연하게 쓰이고 있습니다.

 

저같은 경우는 경제학을 전공한 학부생으로서, 경제수학을 배울 때 최적화의 개념을 처음 접했는데요.

만약 어떤 사람이 5천원을 갖고 있는데, 사과와 아이스크림 중 어떤 걸 몇개씩 살지 고민하고 있다고 가정합시다.

이때 사과 1개를 사면 100만큼의 효용이 증가하고, 아이스크림 1개를 사면 50만큼의 효용이 증가하며,

사과 1개는 800원, 아이스크림 1개는 500원이라고 가정하면 이를 수리적으로 접근해볼 수 있을 겁니다.

사과 개수를 x, 아이스크림 개수를 y라고 할 때, 효용함수 U(x, y) = 100x + 50y 라고 할 수 있고, 비용함수 C(x, y) = 800x + 500y ≤ 5000 이라고 세울 수 있겠죠.이를 수학적 최적화를 이용해 풀면, 주어진 예산을 효율적으로 사용하고 효용도 가장 크게 할 수 있는 최적의 소비 조합을 찾을 수 있게 됩니다.이게 최적화의 기본이라고 할 수 있죠! 매력적이지 않나요?

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Q. 그럼 누구에게 추천하는 책인가요?

이 책은 대학 혹은 대학원에서 수학적 최적화를 처음 학습하는 학생이나,

최적화의 개념을 실무에서 응용하고자 하는 실무자에게 추천하는 책입니다.

 

개인적으로는 경제학이나 통계학, 산업공학을 공부하는 학부생,

그리고 기계학습을 심도있게 공부하려는 분들에게 추천하는 책입니다.

저도 기계학습을 잘하고 싶은 사람으로서 최적화는 심도있게 공부해야겠단 생각이 점점 들더라고요.

그런 의미에서 이 책을 처음 보았을 때 '이건 무조건 신청해서 받아야헤...' 라고 생각했답니다.

본인의 독서 목적에 따라 추천 방법이 나와있습니다.

이를 참고하셔서 어떻게 읽을지 판단하시면 되겠습니다.

 

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Q. 이 책의 장점은 무엇인가요?

이 책의 가장 큰 장점은 시중에서 찾기 힘든 최적화 번역서라는 겁니다.

통상 최적화 책은 Convex Optimization라고 불리는 외국 서적들이 대다수였는데요.

위키 형식으로 모두를 위한 최적화였나... 암튼 훌륭하신 분들께서 만들어놓은 무료 파일이 있는데,위키 형식이다보니 이런 서적 형태의 학습서가 제겐 더 절실하긴 했습니다.그런 의미에서 최적화 책을 번역서로 심도있게 공부할 수 있다는 게 가장 큰 장점이지 않나 싶습니다.

 

또한 예제 문제뿐만 아니라, 예제에 대한 해설도 책에 수록되어 있습니다.특히 대학교 전공 서적이 예제만 있고 솔루션은 없어서 정말 화가 난 순간이 많았는데, 이 책은 그렇지가 않아서 좋습니다.

 

다만 내용이 어려운 만큼, 베이스가 없으면 정말 읽기가 힘들 거라 생각합니다.

그리고 일본어가 베이스인 원서를 번역하다보니 그 용어가 좀 어색해요.

설루션이라든지 ... 뭐 근데 사실 수학 용어를 번역하는 것만큼 어색한 것도 없는 것 같습니다.

공부하시다보면 차라리 용어만큼은 원래 어휘를 사용하시는 편이 훨씬 낫긴 합니다.

 

아무튼 최적화에 대해 방대하고 자세히 다루고 있는 몇 안 되는 소중한 책입니다.

이 책을 통해 최적화에 관심을 갖고 계신 분들이 쉽게 접근하셨으면 좋겠습니다.

 

감사합니다.

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"한빛미디어 <나는 리뷰어다> 활동을 위해서 책을 제공받아 작성된 서평입니다."

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- 간토끼(DataLabbit)

- University of Seoul

- Economics & Data Science